Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 8 стр.

 ’    ’   ’
ρt+v0ρx+ρ0vx=0
 ’    ’   ’
vt+v0vx+px/ρ0=0                                              (9.16)
 ’  0 ’     0 ’
pt+v px+γp vx=0
Подставляя        решение      в    виде     eαt+ikx,    приходим     к
характеристическому уравнению:
⎪α+ikv ikρ
                0
                      0   ⎪
⎪ 0        α+ikv ik/ρ0 ⎪=0,
⎪ 0         γp0ik α+ikv⎪
Откуда α=-ikv или α=-ik(v±c). Таким образом, при добавлении
уравнения        энергии,     у   уравнения      появляется      третья
характеристика        (возмущение,     переносимое       со    средой).
Соответствующее краевое условие должно ставиться так, чтобы
среда текла от границы внутрь расчётной области. Вообще,
краевые условия должны ставиться так, чтобы по ним можно
было вычислить значения инвариантов Римана для всех
характеристик, идущих от границы внутрь расчётной области.
Если краевые условия имеют вид fi(ρ,u,p)⎜Γ=0, то необходимо,
чтобы
D(fi)
D(Ri)≠0,                                                     (9.17)
где Ri(ρ,u,p) - нужные нам инварианты. В дозвуковом режиме
это соответствует двум краевым условиям с одной стороны и
одному с другой. При сверхзвуковом течении все три краевых
условия ставятся с одной стороны.
     В случае, когда внутри расчётной области скорость
меняет знак, или переходит через значение v=c, постановка
краевых       условий     усложняется.    Число      краевых    условий
дифференциальной         задачи   может     отличаться      от    трёх.
Усложняется и форма записи конечно-разностных уравнений.
Так, в случае постоянства знака скорости система уравнений
в форме (9.14) имеет двухдиагональный вид (по скорости).
При переменности знака скорости система (9.14) становится
трёхдиагональной и требует большего числа краевых условий.
Тоже происходит при использовании схемы второго порядка
точности (9.8). Часто до начала расчёта неизвестно, сколько
краевых условий потребуется в той или иной точке границы. В
этом случае постановка краевых условий должна производится
с проверкой (9.17) во время расчёта. Обычно вычислители
идут на превышение числа краевых условий конечно-разностной
задачи над числом краевых условий дифференциальной задачи.
Алгоритмы прогонки с выбором главного элемента, применяемые
для     решения      получаемых    конечно-разностных       уравнений,
организуются таким образом, что используют краевые условия
исходя из требования устойчивости алгоритма. Как видно из
анализа устойчивости схемы бегущего счёта, это свойство
согласуется       с    физическими    свойствами      дифференциальной
задачи и обычно компенсирует избыток краевых условий
конечно-разностной задачи.
     В случае реальных нелинейных уравнений ситуация ещё
более усложняется. Нелинейность приводит к тому, что при