Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 9 стр.

определённых условиях характеристики выходящие из различных
точек могут пересечься. В этом случае в течении образуется
разрыв того или иного рода. Указанное обстоятельство ещё
более затрудняет алгоритм расчёта. Сложен анализ такой
задачи и в теоретическом плане. Так, до сих пор не удаётся
доказать существование решений уравнений гидродинамики во
многих практически важных случаях.

п.3. Монотонность конечно-разностного метода.

      Выше    рассматривалось     понятие     монотонности    для
двуслойных        конечно-разностных       схем,       отвечающих
дифференциальному     уравнению    с   одной    переменной.   Как
показано Фридрихсом, для схем такого типа монотонность
проверяется довольно просто и сводится к проверке знаков
коэффициентов конечно-разностного уравнения. Для систем
нескольких двуслойных уравнений или одного многослойного
конечно-разностного уравнения дело обстоит значительно
сложнее. Рассмотрим, например волновое уравнение (3.28).
Оно может быть заменено эквивалентной системой уравнений
первого порядка по времени (3.21).
      В прямом смысле слова гиперболические дифференциальные
уравнения не обладают свойством монотонности. Рассмотрим
решение уравнения (3.28) в виде двух волн одинакового
профиля     (например     параболического),      движущихся    со
скоростями +c и -c. Пусть в начальный момент они совпадают,
при этом решение имеет два минимума и один максимум. После
того, как волны разойдутся, решение будет иметь три
минимума и два максимума - монотонность нарушилась. Тем не
менее, монотонность решения гиперболического уравнения
имеет    место,    если   решение    является    характеристикой,
поскольку оно удовлетворяет монотонному уравнению переноса.
Для (3.28) эти уравнения имеют вид:
∂R+/∂t+c∂R+/∂x=0
                                                       (9.18)
∂R-/∂t-c∂R-/∂x=0
Это даёт возможность ввести понятие монотонной конечно-
разностной схемы для гиперболического уравнения или системы
уравнений,     как    схемы,    монотонной     на    всех   своих
характеристиках в смысле Фридрихса (§5 п3).
      Для расщепления линейного конечно-разностного уравнения
на уравнения характеристик при анализе монотонности удобно
применять технику преобразования Фурье. В качестве примера
рассмотрим схему (9.13) при ν=0. Как указывалось выше,
характеристическое уравнение имеет вид:
    1                   1
[1- +(q1+q3)(eiϕ-1)][1- +(q1-q3)(eiϕ-1)]=0.       (9.19)
    λ                   λ
Поскольку Фурье-компоненте eimϕ соответствует оператор Tm,
такой, что Tmui=ui+m, то от Фурье-образа легко перейти к
оригиналу конечно-разностной схемы. Оригинал в данном
случае находится просто