Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

R
^
±
i
-R
±
i
τ
+(v±c)
R
^
±
i+1
-R
^
±
i
h
=0, (9.20)
и представляет собой неявную схему с направленной разностью
для уравнения переноса. Она монотонна при (c±v)τ/h≤0, что
согласуется с условием её устойчивости.
Как правило, на практике попытка прямой проверки
монотонности многослойной схемы встречает серьёзные
трудности: расщепить конечно-разностное уравнение на
характеристики оказывается сложной задачей даже в случае,
когда исходное
дифференциальное уравнение имеет простой
вид. Рассмотрим конечно-разностную схему (3.29).
Подстановка Фурье-компоненты λ
n
e
ik
ϕ
приводит к уравнению на
множитель перехода
λ
2
+2λ(2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)+1=0. (9.21)
Разложение левой части этого уравнения на множители
соответствует расщеплению конечно-разностного уравнения на
уравнения характеристик:
(λ+2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-(2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
+1=0
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
λ+2q
2
sin
2
ϕ
2
-1+ (2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-1 *
*
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
λ+2q
2
sin
2
ϕ
2
-1- (2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-1
(9.22)
Для нахождения характеристической разностной схемы нужно
разложить выражение для множителя перехода в ряд Фурье.
Рассмотрим первую характеристику (9.22):
λ-1=-2q
2
sin
2
ϕ
2
- (2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-1
Ей соответствует разностная схема
R
^
-
i
-R
-
i
=
q
2
2
(R
-
i+1
-2R
-
i
+R
-
i-1
)-
Σ
m
a
m
R
-
i+m
, (9.23)
где a
m
- коэффициенты разложения (2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-1 в ряд
Фурье:
(2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-1=
Σ
m
a
m
e
im
ϕ
. Мы встретились с
характерной трудностью: уравнения характеристик имеют
весьма громоздкий вид. Таким образом, прямую проверку
монотонности многослойной конечно-разностной схемы редко
удаётся довести до конца. Исключение составляют схемы,
построенные на основе аппроксимации дифференциальных
уравнений характеристик. В этом случае конечно-разностное
уравнение для характеристики имеет простой и обозримый вид
(как для
схемы (9.13)), что делает возможным её анализ.
Схемы такого типа и оригинальный метод их анализа
рассмотрены в работах А.С.Холодова [15],[16].
В общем случае для ответа на вопрос о монотонности того
или иного метода приходится руководствоваться более 
^
Ri±-Ri±       ^ ±
              Ri+1  ^±
                   -Ri
        +(v±c) h =0,                                      (9.20)
   τ
и представляет собой неявную схему с направленной разностью
для уравнения переноса. Она монотонна при (c±v)τ/h≤0, что
согласуется с условием её устойчивости.
        Как правило, на практике попытка прямой проверки
монотонности          многослойной    схемы    встречает   серьёзные
трудности:         расщепить    конечно-разностное    уравнение   на
характеристики оказывается сложной задачей даже в случае,
когда исходное дифференциальное уравнение имеет простой
вид.        Рассмотрим       конечно-разностную     схему    (3.29).
Подстановка Фурье-компоненты λ e      n ikϕ
                                            приводит к уравнению на
множитель перехода
                ϕ
λ2+2λ(2q2sin22-1)+1=0.                                    (9.21)
Разложение левой части этого уравнения на множители
соответствует расщеплению конечно-разностного уравнения на
уравнения характеристик:
             ϕ               ϕ
(λ+2q2sin22-1)2-(2q2sin22-1)2+1=0
⎡         ϕ            2ϕ
                                ⎤
⎢λ+2q2sin2 -1+  (2q2
                    sin   -1)2
                              -1⎥*
⎣         2             2       ⎦
                                                        (9.22)
  ⎡        ϕ             ϕ        ⎤
*⎢λ+2q2sin22-1- (2q2sin22-1)2-1⎥
  ⎣                               ⎦
Для нахождения характеристической разностной схемы нужно
разложить выражение для множителя перехода в ряд Фурье.
Рассмотрим первую характеристику (9.22):
              ϕ            ϕ
λ-1=-2q2sin22- (2q2sin22-1)2-1
Ей соответствует разностная схема
        2
    - q
^-          -    -   -
                        Σ     -
Ri-Ri= 2 (Ri+1-2Ri+Ri-1)- amRi+m,
                         m
                                               (9.23)

                                                   ϕ
где   am   -   коэффициенты   разложения   (2q2sin22-1)2-1   в   ряд
                        ϕ
Фурье:                          Σ
                (2q2sin22-1)2-1= ameimϕ.
                                 m
                                           Мы     встретились     с
характерной    трудностью:   уравнения   характеристик   имеют
весьма громоздкий вид. Таким образом, прямую проверку
монотонности многослойной конечно-разностной схемы редко
удаётся довести до конца. Исключение составляют схемы,
построенные    на    основе   аппроксимации   дифференциальных
уравнений характеристик. В этом случае конечно-разностное
уравнение для характеристики имеет простой и обозримый вид
(как для схемы (9.13)), что делает возможным её анализ.
Схемы   такого    типа   и  оригинальный   метод  их   анализа
рассмотрены в работах А.С.Холодова [15],[16].
     В общем случае для ответа на вопрос о монотонности того
или   иного    метода   приходится   руководствоваться   более

Страницы