Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 12 стр.

тремя скалярными прогонками, что (даже в случае системы
двух          уравнений)           экономичнее          векторной          прогонки.
Неотрицательность               операторов         обеих         дробных       шагов
гарантирует         безусловную          устойчивость        метода       в   целом.
Аналогично может быть расщеплена схема второго порядка
точности (9.9). Однако в этом случае второй дробный шаг
                                                           ^    1/2
                                                           ui-u i c2 2
сводится к пятидиагональному уравнению                              + Λ ρi=τc2Λ2Λ2^
                                                                                  ui
                                                              τ      ρ
.    Учитывая,        что       оператор      Λ2Λ2     аппроксимирует         вторую
                     ∂2
производную             ,      его      можно     заменить         более     простым
                    ∂x2
трёхточечным оператором Λ2. Как сообщается в [11] при этом
сохраняется безусловная устойчивость алгоритма.
      Комбинируя методы первого и второго порядка точности
можно обычным образом составить гибридный метод, обладающий
отмеченными выше преимуществами.
      Схему (9.14) можно расщепить на два неявных шага, также
реализуемых           скалярными           прогонками           и      по     методу
стабилизирующей поправки. Трудоёмкость такого алгоритма
практически            не        превышает          трудоёмкости            простого
покомпонентного расщепления (9.24)-(9.25).
      Описанный приём расщепления применим и к случаю
неизотермического течения. В случае уравнений гидродинамики
для идеального газа (9.15) в переменных ρ-v-p можно положить
                                  1
     vΛ
         1
    ⎡ ± 1 ⎤ 0   0          ⎡ 0 ρΛ± 0 ⎤
                                              ⎛ρ⎞
                           ⎢        1 1⎥
A1=⎢ 0 vΛ± 0 ⎥, A2= 0 0 Λm , w=⎜⎜u⎟⎟. Реализация первого шага
    ⎣ 0 0 vΛ1±⎦            ⎢        ρ ⎥       ⎝p⎠
                           ⎣0γpΛ1± 0 ⎦
очевидна. Уравнение на скорость на втором шаге имеют вид
^    1/2
ui-ui 1 1 1/2
         + Λ±(p i -τγpΛ±^    ui)=0. Оно аналогично рассмотренному выше
                           1
   τ       ρ
случаю изотермического течения и решается прогонкой.
      Остановимся на проверки неотрицательности A1 и A2
методом энергетических неравенств в случае замороженных
коэффициентов.          Введём         скалярное       произведение         (w’,w”)=
  ρ’ p’ ρ” p”              ρ 0
                                          (p’,p”)
=( 0 - 0, 0 - 0)+             0(u’,u”)+            . Тогда
   ρ γp        ρ γp       γp               (γp0)2
                           ρ p            ρ p                    ρ0 (p,v0Λp)
A1:            (w,A1w)=( 0- 0,v Λ( 0- 0))+(u,v Λu) 0+
                                     0                    0
                                                                              ≥0
                          ρ γp           ρ γp                   γp      γp0
                           ρ p                ρ0     1_       (p,γp0Λu)
A2:            (w,A2w)=( 0- 0,Λu-Λu)+ 0(u, 0Λp)+                          =
                          ρ γp               γp      ρ           (γp0)2
     _
 (u,Λp)+(p,Λu)
=              =0.
       γp0
Несложно заметить, что данная схема требует краевых условий
на ρ0, v0, p0, pN при v0≥0 и ρN, vN, p0, pN при v0≤0.

п.5.Консервативные схемы для уравнений гидродинамики.