Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

схемы искажает решение, и как она отражается на
устойчивости полученного алгоритма? Ответ на них достаточно
прост. Решение искажается слабо, если нелинейный оператор
A(w
^
) не слишком сильно отклоняется от своей линеаризации
A(w
^
)≈A(w)+
DA
Du
(u
^
-u), (9.30)
а это справедливо, когда ⎢⎟u
^
-u⎢⎟/⎢⎟u⎢⎟ достаточно мало. Так, что
условие применимости линеаризованных уравнений согласуется
с условием выбора шага по времени из обычного условия
аппроксимации τ<T, где T - характерное время физического
процесса, и в большинстве случаев всё обстоит благополучно.
Устойчивость алгоритма в этом случае также сохраняется. Это
обычно справедливо и на квазистационарном участке жёстких
задач, поскольку линеаризованный оператор сохраняет
свойство подавлять жёсткую компоненту решения. Тем более
это справедливо при решении стационарных задач
установлением. В последнем случае эффективность метода
(9.29) обусловлена его высокоустойчивостью и наличием
полной аппроксимации. При решении стационарных задач
установлением следует иметь в виду, что в случае
наличия
быстропротекающих процессов необходимо ограничивать
временной шаг для выполнения условия ⎢⎟u
^
-u⎢⎟/⎢⎟u⎢⎟<1. Когда
решение близко к установившемуся и слабо меняется за
итерацию, шаг можно увеличить. Строго говоря,
высокоустойчивость присуща линеаризованным схемам только на
стационарном решении. На быстроменяющемся решении они как
правило условно устойчивы. При решении стационарных задач
установлением
такое ограничение на временной шаг
необременительно, т.к. не препятствует быстрой сходимости.
И оно тем более необременительно при решении нестационарных
задач, т.к. обычно оказывается слабее условия
аппроксимации.
С использованием линеаризации на верхнем слое и
последующего расщепления решение сложных нелинейных задач
может быть сведено к последовательности простых линейных.
Это можно
представить в виде схемы:
Нелинейное дивергентное
уравнение в консервативных
переменных
↓
Линеаризованное уравнение в
основных переменных
↓
Последовательность
квазилинейных уравнений
(дробные шаги)
В целом, как показала практика, применение
линеаризованных алгоритмов оказывается целесообразным в 
схемы   искажает     решение,     и      как   она     отражается   на
устойчивости полученного алгоритма? Ответ на них достаточно
прост. Решение искажается слабо, если нелинейный оператор
  ^) не слишком сильно отклоняется от своей линеаризации
A(w
  ^)≈A(w)+DA(u
A(w           ^
           Du -u),                                          (9.30)
а это справедливо, когда ⎢⎟^  u-u⎢⎟/⎢⎟u⎢⎟ достаточно мало. Так, что
условие применимости линеаризованных уравнений согласуется
с условием выбора шага по времени из обычного условия
аппроксимации τ

Страницы