Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Подстановка Фурье-компоненты e
γ
t+i(kr)
в систему (10.3)
приводит к дисперсионному соотношению аналогичному (10.6):
[γ+i(kv
0
)]
2
+μk
2
[γ+i(kv
0
)]+c
2
k
2
=0, где μ=(2/3η+ζ)/ρ. Откуда
γ=-ikv
0
-μk
2
/2±(μ
2
k
4
/4-k
2
c
2
)
1/2
. (10.4)
При μ=0 система (10.3) имеет гиперболический тип, а при μ>0
приобретает параболические свойства. В обоих случаях для
неё корректна смешанная начально-краевая задача. При этом
постановка краевых условий должна удовлетворять
требованиям, аналогичным случаю одномерной задачи.
В векторной записи (10.1) можно представить в виде
∂w/∂t+Aw=0 (для компактности ограничимся двумерным случаем и
положим
χ=ζ-η/3, w=(ρ,v
x
,v
y
)) и
A=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
v
x
∇
x
+v
y
∇
y
ρ∇
x
ρ∇
y
c
2
∇
x
ρ(v
x
∇
x
+v
y
∇
y
)-η(Δ
x
+Δ
y
)-χΔ
x
-χ∇
x
∇
y
c
2
∇
y
-χ∇
x
∇
y
ρ(v
x
∇
x
+v
y
∇
y
)-η(Δ
x
+Δ
y
)-χΔ
y
.
Влияние второй вязкости сказывается только при резких
сжатиях или разрежениях газа, что имеет место в ударных
волнах. Если решения предполагаются гладкими, то влияние
второй вязкости на характер течения практически
отсутствует, и её можно не учитывать.
Системе уравнений (10.1) или (10.2) могут быть
сопоставлены конечно-разностные системы уравнений,
составленные на основе схем для
одномерных уравнений. Нас
будут интересовать прежде всего высокоустойчивые неявные
схемы. Они могут быть построены на основе рассмотренных
выше схем (10.10), (10.12) и (10.14). Например, на основе
(10.10) или (10.14) могут быть составлены неявные конечно-
разностные схемы второго и первого порядка точности по
пространственным производным соответственно:
w
^
-w
τ
+Aw
^
=0, (10.5)
A=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
v
x
Λ
x
+v
y
Λ
y
ρΛ
x
ρΛ
y
c
2
Λ
x
ρ(v
x
Λ
x
+v
y
Λ
y
)-η(Λ
xx
+Λ
yy
)-χΛ
xx
-χΛ
x
Λ
y
c
2
Λ
y
-χΛ
x
Λ
y
ρ(v
x
Λ
x
+v
y
Λ
y
)-η(Λ
xx
+Λ
yy
)-χΛ
yy
Для реализации шага по схеме (10.5) требуется решить
систему линейных уравнений большой размерности. Это может
быть сделано с помощью матричной прогонки, в полной
аналогии с тем, как это описано в п.1 §9. Однако такой
подход неэкономичен. Для получения экономичного алгоритма
можно воспользоваться расщеплением по направлениям со
стабилизирующим оператором. Для этого рассмотрим аналог
схемы с весами:
(1+ατA
D
)
w
^
-w
τ
+Aw
^
=0, (10.6)
где оператор A
D
совпадает с оператором A за исключением
отсутствия членов χΛ
xy
соответствующих смешанным
производным. Оператор A
D
представим в виде суммы A
D
y
и A
D
x
, и 
       Подстановка Фурье-компоненты eγt+i(kr) в систему (10.3)
приводит к дисперсионному соотношению аналогичному (10.6):
[γ+i(kv0)]2+μk2[γ+i(kv0)]+c2k2=0, где μ=(2/3η+ζ)/ρ. Откуда
γ=-ikv0-μk2/2±(μ2k4/4-k2c2)1/2.                             (10.4)
При μ=0 система (10.3) имеет гиперболический тип, а при μ>0
приобретает параболические свойства. В обоих случаях для
неё корректна смешанная начально-краевая задача. При этом
постановка          краевых     условий     должна      удовлетворять
требованиям, аналогичным случаю одномерной задачи.
       В векторной записи (10.1) можно представить в виде
∂w/∂t+Aw=0 (для компактности ограничимся двумерным случаем и
положим χ=ζ-η/3, w=(ρ,vx,vy)) и
    ⎛vx∇x2+vy∇y            ρ∇x                      ρ∇y            ⎞
A=⎜ c ∇x ρ(vx∇x+vy∇y)-η(Δx+Δy)-χΔx                 -χ∇x∇y          ⎟.
    ⎝ c ∇y
         2
                         -χ∇x∇y          ρ(vx∇x+vy∇y)-η(Δx+Δy)-χΔy⎠
Влияние второй вязкости сказывается только при резких
сжатиях или разрежениях газа, что имеет место в ударных
волнах. Если решения предполагаются гладкими, то влияние
второй         вязкости    на     характер    течения      практически
отсутствует, и её можно не учитывать.
       Системе      уравнений   (10.1)    или   (10.2)    могут   быть
сопоставлены          конечно-разностные      системы       уравнений,
составленные на основе схем для одномерных уравнений. Нас
будут интересовать прежде всего высокоустойчивые неявные
схемы. Они могут быть построены на основе рассмотренных
выше схем (10.10), (10.12) и (10.14). Например, на основе
(10.10) или (10.14) могут быть составлены неявные конечно-
разностные схемы второго и первого порядка точности по
пространственным производным соответственно:
^
w-w ^
     +Aw=0,                                                 (10.5)
  τ
A=
⎛vxΛx2+vyΛy               ρΛx                         ρΛy             ⎞
⎜ c2Λx ρ(vxΛx+vyΛy)-η(Λxx+Λyy)-χΛxx                 -χΛxΛy            ⎟
⎝ c Λy                  -χΛxΛy           ρ(vxΛx+vyΛy)-η(Λxx+Λyy)-χΛyy⎠
Для реализации шага по схеме (10.5) требуется решить
систему линейных уравнений большой размерности. Это может
быть сделано с помощью матричной прогонки, в полной
аналогии с тем, как это описано в п.1 §9. Однако такой
подход неэкономичен. Для получения экономичного алгоритма
можно воспользоваться расщеплением по направлениям со
стабилизирующим оператором. Для этого рассмотрим аналог
схемы с весами:
           ^
           w-w ^
(1+ατAD)        +Aw=0,                                      (10.6)
             τ
где оператор AD совпадает с оператором A за исключением
отсутствия          членов     χΛxy    соответствующих       смешанным
производным. Оператор AD представим в виде суммы ADy и ADx, и

Страницы