Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
x1
=
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
v
y
Λ
y
00 0
0v
y
Λ
y
-Λ
-
y
νΛ
y
00
00v
y
Λ
y
-Λ
-
y
νΛ
y
0
00 0v
y
Λ
y
-
1
ρC
v
Λ
-
y
λΛ
y
A
x2
=
⎝
⎜
⎜
⎛
⎠
⎟
⎟
⎞
00ρΛ
y
0
RT
ρμ
Λ
-
y
00
R
μ
Λ
-
y
00 0 0
00
RT
μC
v
Λ
y
0
Реализация шагов с операторами A
x1
A
y1
очевидна. Рассмотрим
шаг с оператором A
x2
. Уравнения имеют вид:
ξ
2
ρ
+ατρΛ
x
ξ
2
vx
=ξ
1
ρ
ξ
2
vx
+ατ
RT
ρμ
Λ
-
x
ξ
2
ρ
+ατ
R
μ
Λ
-
x
ξ
2
T
=ξ
1
vx
ξ
2
T
+ατ
RT
μC
v
Λ
x
ξ
2
vx
=ξ
1
T
(10.11)
Подставляя ξ
ρ
из первого уравнения и ξ
T
из третьего во
второе, получим уравнение на ξ
v
ξ
2
vx
+ατ
RT
ρμ
Λ
-
x
(ξ
1
ρ
-ατρΛ
x
ξ
2
vx
)+ατ
R
μ
Λ
-
x
(ξ
1
T
-ατ
RT
μC
v
Λ
x
ξ
2
vx
)=ξ
1
vx
, (10.12)
которое решается скалярной прогонкой. Найдя ξ
v
, из (10.11)
определяем ξ
ρ
и ξ
T
. Шаг с оператором A
2y
реализуется
аналогично.
п.3.Реализация краевых условий в схемах расщепления по
направлениям.
Реализация краевых условий для уравнений гидродинамики
сложнее, чем в примере, описанном в п.5 §7, но строится на
основе тех же приёмов. В качестве примера рассмотрим
постановку краевых условий на твёрдой непроницаемой
химически пассивной границе. Для вязкого газа на такой
границе обычно ставятся условия прилипания: v
x
=0, v
y
=0.
Проблема состоит в отсутствии физического краевого условия
на плотность, необходимого для уравнения неразрывности. Для
получения недостающего краевого условия, его получают из
уравнений гидродинамики. Записывая систему уравнений (10.3)
в конечно-разностой форме и учитывая, что v
x
=0, v
y
=0
тождественно по x, (для определённости возьмём нижнюю
границу y=0, 0<x<L) приходим к
ρ
^
-ρ
τ
+ρΛ
y
v
^
y
=0 (10.13.1)
Λ
-
x
p
^
=Λ
-
y
ηΛ
y
v
^
x
(10.13.2)
Λ
-
y
p
^
=Λ
-
y
ηΛ
y
v
^
y
(10.13.3)
Уравнение (10.13.2) не представляет интереса, поскольку v
x
не входит в (10.13.1). Чтобы исключить значение плотности в
фиктивном узле ρ
0,-1
, в качестве Λ
-
y
p
^
используем правую
направленную разность, а в качестве Λ
y
v
y
^
в (10.13.1) - 
                                                                                    ρΛy
      ⎛v 0Λ v Λ -Λ
        y   y    0
                  -
                            0        0
                                            ⎞                           ⎛RT0Λ- 00          0
                                                                                          R-⎞
Ax1
      ⎜
     = 0
                    νΛ
                    y   y   0
                            y
                             -
                       v Λ -Λ νΛ
                                y    0
                                            ⎟                    Ax2   =
                                                                        ⎜ρμ   y     0      Λ
                                                                                            ⎟
                                                                                          μ y
      ⎜0         0                  y0
                                     1 -
                                        y
                                            ⎟
                                            y   y   0
                                                   RT                   ⎜ 0 0              0
                                                                                            ⎟
      ⎝          0          0
                           y y   vΛ-
                                 v
                                   y y
                                    ρC
                                       Λ λΛ
                                            ⎠         Λ
                                                  μCv y                 ⎝ 0 0             0
                                                                                            ⎠
Реализация шагов с операторами Ax1 Ay1 очевидна. Рассмотрим
шаг с оператором Ax2. Уравнения имеют вид:
 2              2       1
ξρ+ατρΛxξvx=ξρ
  2    RT - 2      R- 2 1
ξvx+ατ Λxξρ+ατ ΛxξT=ξvx
       ρμ          μ                              (10.11)
 2    RT      2   1
ξT+ατ     Λ ξvx=ξT
      μCv x
Подставляя ξρ из первого уравнения и ξT из третьего во
второе, получим уравнение на ξv
  2    RT -     1      2  R-  1    RT     2    1
ξvx+ατ Λx(ξρ-ατρΛxξvx)+ατ Λx(ξT-ατ    Λxξvx)=ξvx, (10.12)
       ρμ                 μ        μCv
которое решается скалярной прогонкой. Найдя ξv, из (10.11)
определяем ξρ и ξT. Шаг с оператором A2y реализуется
аналогично.


п.3.Реализация                  краевых         условий   в   схемах     расщепления        по
направлениям.

      Реализация краевых условий для уравнений гидродинамики
сложнее, чем в примере, описанном в п.5 §7, но строится на
основе тех же приёмов. В качестве примера рассмотрим
постановку    краевых   условий  на  твёрдой    непроницаемой
химически пассивной границе. Для вязкого газа на такой
границе обычно ставятся условия прилипания: vx=0, vy=0.
Проблема состоит в отсутствии физического краевого условия
на плотность, необходимого для уравнения неразрывности. Для
получения недостающего краевого условия, его получают из
уравнений гидродинамики. Записывая систему уравнений (10.3)
в конечно-разностой форме и учитывая, что vx=0, vy=0
тождественно по x, (для определённости возьмём нижнюю
границу y=0, 0

Страницы