Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 17 стр.

соответствующая            схема       расщепления           с      несогласованным
стабилизирующим оператором имеет вид:
                     ^
                  D w-w
         D
(1+ατAy)(1+ατAx)          +Aw^=0,                                          (10.7)
                       τ
    ⎛vxΛ- x     ρΛx                0     ⎞ D ⎛vyΛy            0              ρΛy     ⎞
Ax=⎜c ΛxρvxΛx-(η+χ)Λxx                   ⎟ Ay=⎜ - y y yy
                                                       ρv   Λ                        ⎟
 D    2
                                   0                0          -ηΛ            0
    ⎝ 0          0           ρvxΛx-ηΛxx⎠        ⎝c Λ y
                                                   2
                                                              0       ρvyΛy-(η+χ)Λyy⎠
(10.7) может быть реализована двумя векторными прогонками и
является      экономичной.           Ещё     более        упростить        реализацию
алгоритма       и        повысить        его       экономичность            позволяет
дополнительное           расщепление          каждого         шага        (10.7)    по
процессам, аналогично тому, как это делалось для схемы
(10.14):
                                               ^
                                            D w-w
          D        D             D
(1+ατAy1)(1+ατAy2)(1+ατAx1)(1+ατAx2)                +Aw^=0,                (10.8)
                                                 τ

  D ⎛
      vxΛx        0                 0     ⎞                 ⎛ 0- ρΛx0⎞
Ax1=⎜ 0 ρvxΛx-(η+χ)Λxx                    ⎟           Ax2=⎜c2Λx 0 0⎟
                                                        D
                                    0
     ⎝ 0          0           ρvxΛx-ηΛxx⎠                   ⎝ 0 0 0⎠
     vyΛy                                                  ⎛ 00 0ρΛ   y⎞
 D ⎛                                     ⎞
              0                 0
Ay=⎜ 0 ρvyΛy-ηΛyy                        ⎟             y ⎜             ⎟
                                0                     A
                                                       D
                                                         =        0 0
    ⎝ 0       0       ρvyΛy-(η+χ)Λyy     ⎠                 ⎝c Λy0 0 ⎠
                                                             2-

Каждый шаг (10.8) реализуется скалярными прогонками или
схемой бегущего счёта. Схема (10.8) предложена в [17],[11].
Отсылая за подробностями к указанным работам, отметим, что
(10.8) безусловно устойчива.
      Совершенно аналогично может быть построен алгоритм
решения уравнений Навье-Стокса в случае неизотермического
течения газа. В этом случае к системе уравнений (10.3)
должно быть добавлено уравнение на энергию:
 ∂ε
ρ +ρ(v∇)ε+pdivv=div(λ∇)T+qстор,                                            (10.9)
 ∂t
где ε [Дж/кг] - массовая плотность внутренней энергии газа.
Полученную систему уравнений (10.3),(10.9) можно решать в
различных переменных например, W=(ρ,v,T) или W=(ρ,v,p). Так,
в первом случае (10.9) принимает вид:
∂T          RT           1
∂t
   +(v∇)T+
            μCv
               divv=
                        ρCv
                            [div(λ∇)T+qстор],                              (10.10)
Переходя к конечным разностям, получаем разностную схему с
весами вида (10.6) (здесь и ниже вторая вязкость опущена).
Расщепляя полученную схему по направлениям и процессам,
приходим к (10.8) с операторами вида:
                                                                            ρΛx 0 0
    ⎛ vxΛx      0
                 -
                               0             0
                                                     ⎞         ⎛    RT
                                                                       0
                                                                        -        R-⎞
    ⎜
Ax1= 0
        0 vxΛx-ΛxνΛx           0
                                -
                         vxΛx-ΛxνΛx
                                             0
                                                     ⎟       A
                                                               ⎜ =
                                                                     ρμ
                                                                        Λx 0 0 Λx
                                                                                 μ ⎟
    ⎜           0                            0
                                                     ⎟         ⎜                   ⎟
                                                               x2      0     0 0 0
                                             1 -                            RT
    ⎝   0       0              0      vxΛx-     Λ λΛ
                                            ρCv x x  ⎠         ⎝       0       Λ0 0
                                                                           μCv x   ⎠