Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 20 стр.

скорости определять из уравнения неразрывности, которое по
скорости не вырождается. В случае двух- или трёхмерных
течений       это      становится      невозможным:   для определения
нескольких компонент скорости необходимо помимо уравнения
неразрывности использовать вырожденное уравнение движения.
Практическая важность случая медленных течений привела к
созданию специальных численных методов, позволяющих успешно
преодолеть указанные выше трудности. По-видимому, первым
методом такого типа был метод использования переменных
вихрь - функция тока, который остаётся популярным до сих
пор. Одной из первых работ, посвящённых данному методу,
была работа С.Патанкара и Д.Сполдинга [20], где предложен
т.н. алгоритм SIMPLE.
       В своём первоначальном виде метод вихрь - функция тока
был      предназначен        для     расчёта   двумерного течения   с
постоянной плотностью. При этом вводятся вспомогательные
величины вихрь ω и функция тока ψ (введение последней
                                      →
возможно в силу условия div v =0):
   ∂vy ∂vx         ∂ψ       ∂ψ
ω≡ - , vy≡- , vX≡
   ∂x ∂y            ∂y      ∂x
При постоянной плотности уравнения движения имеют вид
∂vx     ∂vx   ∂vx ∂p ⎛∂2vx ∂2vx⎞
    +v     +v     + -ν⎜       +    ⎟=0
∂t X ∂x y ∂y ∂x ⎝ ∂x2 ∂y2 ⎠
∂vy     ∂vy   ∂vy ∂p ⎛∂2vy ∂2vy⎞
    +vy +vx + -ν⎜ 2 + 2 ⎟=0
∂t      ∂y     ∂x ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠
дифференцируя первое уравнение по y, а второе – по x и
вычитая первое из второго получим
∂ω ⎛∂vy ∂vx⎞         ∂      ∂    ⎛∂2ω ∂2ω⎞
  +ω⎜ + ⎟+v ω+vx ω-ν⎜ 2 + 2 ⎟=0
∂t ⎝ ∂y ∂x ⎠ y∂y           ∂x    ⎝ ∂x ∂y ⎠
В силу уравнения неразрывности и постоянства плотности
∂vy ∂vx
    + =0 и уравнение движения принимает вид двумерного
∂y ∂x
уравнения Бюргерса относительно ω
∂ω     ∂ω    ∂ω ⎛∂2ω ∂2ω⎞
  +v      +v    -ν⎜     +  ⎟=0,                            (10.16)
∂t y ∂y x ∂x ⎝ ∂x2 ∂y2 ⎠
которое при малых скоростях достаточно эффективно решается
явным методом. После вычисления вихря ω, для вычисления
скорости имеется система уравнений Коши-Римана
∂vy ∂vx
    + =0
∂y ∂x
∂vy ∂vx
    - =ω
∂x ∂y
Эту систему можно свести к двум уравнениям Пуассона на
компоненты скорости:
∂2vy ∂2vy ∂ω
     +     =
∂x2 ∂y2 ∂x