Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 21 стр.

∂2vx ∂2vx ∂ω
    +    =-
∂x2 ∂y2 ∂y
но удобнее – к одному уравнению Пуассона на функцию тока:
∂2ψ ∂2ψ
   +    =ω,                                               (10.17)
∂x2 ∂y2
после     вычисления    которой     легко    находятся    компоненты
скорости.
      Решение (10.16)-(10.17) обычно производится методом
релаксации. Итерационный цикл включает вычисление вихря из
уравнения (10.16), функции тока из (10.17) (одна итерация
методом релаксации) и вычисления скорости. Цикл повторяется
до достижения требуемой точности.
      Удобство метода переменных ψ-ω для расчётов медленных
течений состоит в том, что в решаемые уравнения не входит
давление и не происходит вырождение уравнений              при M→0.
Большим      неудобством      метода     является      необходимость
использования краевых условий для вихря ω при решении
(10.16),      которые     в    физической       постановке    задачи
отсутствуют. Возникают определённые трудности при обобщении
метода на трёхмерный случай. При этом вихрь вводится как
                          →      →
векторная     величина    ω =rot( v ),   у    которой   независимыми
являются только две компоненты из трёх. После этого берётся
ротор от уравнения движения, что позволяет исключить
давление. К сожалению, полученное уравнение не может быть
записано только через вихрь, в него входит скорость, хотя
эти    члены    малы.    После    вычисления      вихря   получается
                                                        → →
эллиптическое уравнение на функцию тока: rotrot( ψ )= ω .
      К настоящему времени накоплен значительный опыт решения
уравнений гидродинамики в переменных вихрь-функция тока.
Метод весьма эффективен при расчёте медленных течений
несжимаемого однородного газа или жидкости. Вместе с тем,
при    наличии    значительных      изменений     плотности   (из-за
непостоянства     состава    газовой     смеси)    итерации   метода
релаксации сходятся очень медленно или расходятся, что
ограничивает применимость метода вихрь-функция тока для
расчёта течений газовых смесей. В работе [22] предложен
способ преодоления указанной трудности. Как утверждается,
он    обеспечивает    надёжную     сходимость     при   произвольных
изменениях плотности.
      Другим    методом     преодоления      вырождения    уравнений
движения     является    т.н.   метод     введения    «искусственной
сжимаемости», предложенный Н.Н.Яненко. По этому методу, при
расчёте давления не используется уравнение состояния среды,
а    поле    давления   определяется      из    решения   некоторого
эллиптического       уравнения.       Наиболее      распространённой
реализацией такого метода является алгоритм «ICE» Ф.Харлоу
и А.Амсдена [23] (известно несколько модификаций). Более
простой        реализацией        метода         является      схема
О.М.Белоцерковского [24]. В её основе лежит простое