Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Уравнения гидродинамики могут быть записаны в
дивергентной форме (9.1)÷(9.3), для которой можно составить
соответствующие конечно-разностные аналоги. Ранее
отмечалось, что использование уравнений в консервативной
форме форме даёт ряд преимуществ, обеспечивая лучшее
воспроизведение решений дифференциальной задачи. Используя
для аппроксимации пространственных производных направленные
или центральные разности, можно получить консервативную
конечно-разностную схему
первого или второго порядка
точности.
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+Λ
2
ρ
^
i
v
^
i
=0
ρ
^
i
v
^
i
-ρ
i
v
i
τ
+v
i
Λ
2
ρ
^
i
v
^
i
+c
2
Λ
2
ρ
^
i
-ηΛ
2
2
v
^
i
=0
(9.26)
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+Λ
1
±
ρ
^
i
v
^
i
=0
ρ
^
i
v
^
i
-ρ
i
v
i
τ
+v
i
Λ
1
±
ρ
^
i
v
^
i
+c
2
Λ
1
m
ρ
^
i
-ηΛ
2
2
v
^
i
=0
(9.27)
Данные системы уравнений нелинейны и записаны относительно
«консервативных» переменных ρ и ρv. Как указано в [11], для
получения высокоустойчивых экономичных безитерационных схем
они могут быть линеаризованы и решены последовательными
скалярными прогонками.
Перейдём от (9.26) или (9.27) к схеме с весами
w
^
-w
τ
+αA(w
^
)+(1-α)A(w)=0 (9.28)
а от неё к линеаризованной схеме
(1+ατ
DA(w)
Dw
)
u
^
-u
τ
+
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
Dw
Du
-1
A(w)=0 (9.29)
где w - вектор консервативных переменных (в данном случае
w=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
ρ
ρv
), u - вектор основных переменных (в данном случае
u=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
ρ
v
),
Dw
Du
=
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
1 0
v ρ
- матрица Якоби отображения w <-> u. Вид
матричных операторов очевиден и здесь не выписывается.
Схема (9.29) имеет вид, аналогичный (9.14) и может быть
расщеплена на последовательность дробных шагов, реализуемых
скалярными прогонками. Вместе с тем удаётся сохранить
консервативность при установлении, полную аппроксимацию и
высокоустойчивость, присущие схемам (9.26) и (9.27).
Указанный приём носит название линеаризации на верхнем слое
и чрезвычайно широко применяется в практике численного
счёта. Разумеется, он применим не только к уравнениям
гидродинамики но и практически к любым квазилинейным
системам уравнений в частных производных. Естественно
возникают вопросы: в какой степени линеаризация разностной 
      Уравнения    гидродинамики     могут     быть    записаны   в
дивергентной форме (9.1)÷(9.3), для которой можно составить
соответствующие        конечно-разностные        аналоги.     Ранее
отмечалось, что использование уравнений в консервативной
форме форме даёт ряд преимуществ, обеспечивая лучшее
воспроизведение решений дифференциальной задачи. Используя
для аппроксимации пространственных производных направленные
или центральные разности, можно получить консервативную
конечно-разностную      схему   первого    или    второго   порядка
точности.
^
ρi-ρi 2^ ^
      +Λ ρivi=0
  τ
^                                                        (9.26)
ρi^
  vi-ρivi     2^ ^  2 2^    2^
         +viΛ ρivi+c Λ ρi-ηΛ2vi=0
    τ

^
ρi-ρi 1^ ^
        +Λ± ρivi=0
   τ
^                                                      (9.27)
ρi^vi-ρivi        1^ ^   2 1^     2^
             +viΛ± ρivi+c Λm ρi-ηΛ2vi=0
      τ
Данные системы уравнений нелинейны и записаны относительно
«консервативных» переменных ρ и ρv. Как указано в [11], для
получения высокоустойчивых экономичных безитерационных схем
они могут быть линеаризованы и решены последовательными
скалярными прогонками.
        Перейдём от (9.26) или (9.27) к схеме с весами
^
w-w
     +αA(w  ^)+(1-α)A(w)=0                             (9.28)
  τ
а от неё к линеаризованной схеме
         DA(w) ^ u-u ⎛Dw⎞-1
(1+ατ Dw )           +⎜ ⎟ A(w)=0                       (9.29)
                   τ ⎝Du⎠
где w - вектор консервативных переменных (в данном случае
    ⎛ρ⎞
w=⎜ ⎟), u - вектор основных переменных (в данном случае
    ⎝ρv⎠
    ⎛ρ⎞      Dw ⎛1 0⎞
u=⎜v⎟), Du=⎜          ⎟ - матрица Якоби отображения w <-> u. Вид
    ⎝ ⎠         ⎝v ρ ⎠
матричных операторов очевиден и здесь не выписывается.
Схема (9.29) имеет вид, аналогичный (9.14) и может быть
расщеплена на последовательность дробных шагов, реализуемых
скалярными прогонками. Вместе с тем удаётся сохранить
консервативность при установлении, полную аппроксимацию и
высокоустойчивость,            присущие схемам (9.26) и   (9.27).
Указанный приём носит название линеаризации на верхнем слое
и чрезвычайно широко применяется в практике численного
счёта. Разумеется, он применим не только к уравнениям
гидродинамики но и практически к любым квазилинейным
системам уравнений в частных производных. Естественно
возникают вопросы: в какой степени линеаризация разностной

Страницы