Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 11 стр.

простыми соображениями: методы первого порядка точности,
использующие направленные разности, обычно монотонны в
пределах области устойчивости, а второго порядка - заведомо
нет (теорема Годунова переносится и на гиперболлические
уравнения). Окончательное решение вопроса даёт численный
эксперимент. Так, схемы (9.10) и (9.12) немонотонны. В
схеме первого порядка (9.14) осцилляции хотя и возможны, но
сильно подавлены. На основании монотонного метода первого
порядка точности и немонотонного метода высокого порядка,
можно построить нелинейную (гибридную) схему в полной
аналогии с тем, как это проделано выше для простейшего
уравнения переноса.


п.4.Методы расщепления для уравнений гидродинамики.

      Конечно-разностные            схемы      (9.9)-(9.14)   могут   быть
реализованы векторными прогонками. Однако, как отмечалось
выше, в реальных задачах к уравнениям гидродинамики обычно
добавляют большое число других уравнений, описывающих
данную       задачу.        Это    могут     быть   уравнения   Максвелла,
уравнения диффузии, химической и физической кинетики,
переноса излучения и т.п.. В результате общее число
уравнений        оказывается         большим,     а   векторная   прогонка
недопустимо трудоёмкой. Снизить трудоёмкость позволяет
использование             метода         дробных    шагов,     реализуемых
экономичными скалярными прогонками. Так, конечно-разностную
схему (9.14) можно расщепить простым покомпонентным методом
следующим образом:
 1/2
wi -wi       1/2
         +A1w i =0                                              (9.24)
   τ
^    1/2
wi-w i
         +A2^
            wi=0                                                (9.25)
   τ
                                      1
               1
           ⎡vΛ± 0 ⎤           ⎡ 20 ρΛ±⎤       ⎛ρ⎞
где A1=⎢           1⎥ ,   A2=⎢c 1       ⎥ , w=⎜u⎟. Легко проверить (см.
                                 Λ  0         ⎝ ⎠
           ⎣ 0 vΛ±⎦           ⎣ρ m ⎦
анализ устойчивости схемы (9.14)), что в линеаризованном
виде      оба    эти       оператора       неотрицательны,   следовательно
алгоритм (9.24)-(9.25) безусловно устойчив. При этом оба
уравнения (9.24) представляют собой простые уравнения
переноса и решаются независимо друг от друга по схеме
бегущего счёта. Система (9.25) может быть сведена к одному
скалярному уравнению. Исключая плотность на верхнем слое,
получим уравнение на скорость:
^    1/2
ui-u i c2 1
         + Λmρi=τc2ΛmΛ±^
                        1 1
                            ui,
   τ      ρ
которое имеет трёхдиагональный вид и решается скалярной
прогонкой.
      Таким образом, система (9.24)-(9.25) решается двумя
схемами бегущего счёта и одной скалярной прогонкой или