Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 7 стр.

     Для замыкания задачи уравнения должны быть дополнены
краевыми условиями. Правильная постановка краевых условий
для уравнений гидродинамики является сложной проблемой,
даже в случае гладких решений заслуживающей отдельного
руководства (см. например [3],[11],[12],[13]). Существо
дела сводится к тому, что краевые условия должны быть
согласованы с поведением характеристик системы (9.1)-(9.2).
В случае отсутствия вязкости данная система имеет два
собственных решения A(x-(v-c)t) и B(x-(v+c)t), которые
соответствуют двум бегущим волнам. В дозвуковом случае эти
волны распространяются в противоположных направлениях, а в
сверхзвуковом - в одинаковых. Постановка краевых условий
будет корректной, если с течением времени характеристики
смещаются от границы внутрь расчётной области. Так, при
дозвуковом течении следует использовать одно правое условие
и   одно    левое.   При    сверхзвуковом    течении   следует
использовать два правых или два левых краевых условия в
зависимости от знака скорости.
     Следует иметь в виду, что конечно-разностные уравнения
могут    потребовать     краевых    условий,    отличных    от
дифференциальных   уравнений.     Для   решения    вопроса   о
постановке краевых условий удобно пользоваться методом
энергетических неравенств. Так, для схемы (9.14) при
v0,ρ0=conts, v0≥0 было получено выражение 2h(w,Aw)=v0 (ρi-ρi-   Σ
                                                                i

1) +v ρ /c
  2  0 02
          Σ(v -v
          2

              i
                  i
                          2
                      i-1) +
                                    2   2             2   2
                               +v0(ρN-1-ρ0)+v0ρ02/c2(vN-1-v0)+2ρ0(ρNvN-1-

ρ1v0).   Для   его    неотрицательности     следует  занулить
                              0 2         0 02 2
отрицательные   слагаемые   -v ρ0  и    -v ρ v0/c ,
                                                 2
                                                    а   также
знакопеременные слагаемые 2ρ ρNvN-1 и -2ρ ρ1v0. Этого можно
                              0             0

достичь постановкой краевых условий на ρ0, v0 и ρN.
Аналогично, при v0≤0 требуются краевые условия на ρ0, vN и
ρN. В случае отличной от нуля вязкости аналогичный анализ
приводит к необходимости краевых условий на ρ0, v0, vN, ρN
независимо от знака скорости. Для схемы (9.10) анализ также
приводит к необходимости краевых условий на ρ0, v0, vN, ρN
независимо от наличия вязкости и знака скорости.

     Всё сказанное относится к упрощённой системе (9.1)-
(9.2), описывающей изотермическое течение сжимаемого газа.
В реальных условиях система уравнений имеет более сложный
вид, например:
 ’     ’
ρt+(ρv)x=0
 ’   ’   ’
vt+vvx+px/ρ=0                                    (9.15)
 ’   ’        ’
Et+vEx+(E+p)vx=0
Система (9.15) должна быть дополнена заданием термических и
калорических свойств среды. В случае идеального газа они
имеют вид: p=c2ρ/γ, E=p/(γ-1). Для исследования (9.15)
линеаризуем её. Приходим к системе: