Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

v
^
i
+v
^
i+1
-v
i
-v
i+1
τ
+
v
i
+v
i+1
2
Λ
+
(v
^
i
+v
i
)+
2c
2
ρ
i
+ρ
i+1
Λ
+
(ρ
^
i
+ρ
i
)=0
или
ρ
^
i
+ρ
^
i+1
-ρ
i
-ρ
i+1
τ
+
v
i
+v
i+1
2
ρ
^
i+1
+ρ
i+1
-ρ
^
i
-ρ
i
h
+
ρ
i
+ρ
i+1
2
v
^
i+1
+v
i+1
-v
i
-v
^
i
h
=0
(9.12)
v
^
i
+v
^
i+1
-v
i
-v
i+1
τ
+
v
i
+v
i+1
2
v
^
i+1
+v
i+1
-v
i
-v
^
i
h
+
2c
2
ρ
i
+ρ
i+1
ρ
^
i+1
+ρ
i+1
-ρ
^
i
-ρ
i
h
=0
За исключением коэффициентов при конечных разностях, все
члены уравнений аппроксимированы с точностью O(h
2
+τ
2
).
Погрешностью O(h
2
+τ) в аппроксимации коэффициентов обычно
пренебрегают. Анализ устойчивости методом замороженных
коэффициентов может быть проведён аналогично схеме (3.33).
Схема «квадрат» безусловно устойчива.
4.Неявная схема с направленной разностью.
Рассмотрим схему
ρ
^
i
-ρ
i
τ
+v
i
Λ
±
ρ
^
i
+ρ
i
Λ
±
v
^
i
=0
v
^
i
-v
i
τ
+v
i
Λ
±
v
^
i
+
c
2
ρ
i
Λ
±
ρ
^
i
-νΛ
2
v
^
i
=0
(9.13)
Схема (9.13) аппроксимирует (9.1)-(9.2) с погрешностью
O(h+τ). Исследуем устойчивость данной схемы. Вводя
обозначения q
1
=vτ/h, q
2
=ντ/h
2
, q
3
=cτ/h, приходим к выражению:
[1-
1
λ
+q
1
(e
i
ϕ
-1)][1-
1
λ
+4q
2
2
sin
2
ϕ
2
+q
1
(e
i
ϕ
-1)]+q
2
3
(e
i
ϕ
-1)
2
=0. В случае
q
2
=0 выражение упрощается:
[1-
1
λ
+q
1
(e
i
ϕ
-1)]
2
+q
2
3
(e
i
ϕ
-1)
2
=0 и
1
λ
=1+(q
1
±q
3
)(e
i
ϕ
-1). Последнее
выражение совпадает по форме с выражением для множителя
перехода схемы (3.5), откуда 0≤q
1
±q
3
≤1. Таким образом,
несмотря на неявность, схема (9.13) условно устойчива.
Данное обстоятельство впервые было проанализировано в
работе [14]. Было указано, что для безусловной устойчивости
схемы с направленной разностью следует использовать
сопряжённые аппроксимации для скорости в первом уравнении и
плотности (давления) во втором уравнении. Если в первом
уравнении для аппроксимации скорости используется правая
разность, то для аппроксимации давления во втором уравнении
следует использовать левую и наоборот. Направления
дифференцирования плотности в первом уравнении и скорости
во втором выбираются в соответствии с правилом «против
потока». Поскольку уравнение (9.1) при одинаковом
направлении аппроксимации плотности и скорости имеет 
^  ^ -v -v
vi+v                           2c2
    i+1   i i+1 vi+vi+1 ^              ^ +ρ )=0
               + 2 Λ+(vi+vi)+       Λ+(ρ
        τ                    ρi+ρi+1     i i



или

^  ^ -ρ -ρ
ρi+ρ                    ^           ^             ^            ^
     i+1   i i+1 vi+vi+1 ρ i+1+ρi+1-ρ i-ρi ρi+ρi+1vi+1+vi+1-vi-vi
                + 2              h        +   2          h       =0
         τ
                                                                  (9.12)
^  ^                     ^              ^       2 ^
vi+vi+1-vi-vi+1 vi+vi+1vi+1+vi+1-vi-vi 2c ρi+1+ρi+1-ρi-ρi   ^
                + 2              h        +              h        =0
         τ                                  ρi+ρi+1

За исключением коэффициентов при конечных разностях, все
члены уравнений аппроксимированы с точностью O(h2+τ2).
Погрешностью O(h2+τ) в аппроксимации коэффициентов обычно
пренебрегают. Анализ устойчивости методом замороженных
коэффициентов может быть проведён аналогично схеме (3.33).
Схема «квадрат» безусловно устойчива.

4.Неявная схема с направленной разностью.
Рассмотрим схему
^
ρi-ρi
      +viΛ±^
           ρi+ρiΛ±^vi=0
  τ
^                                                          (9.13)
vi-vi      ^   c2 ^     ^
      +viΛ±vi+ Λ±ρi-νΛ2vi=0
  τ            ρi
Схема (9.13) аппроксимирует (9.1)-(9.2) с погрешностью
O(h+τ).      Исследуем     устойчивость      данной    схемы.   Вводя
                                 2
обозначения q1=vτ/h, q2=ντ/h , q3=cτ/h, приходим к выражению:
    1                 1  2     ϕ              2
[1- +q1(eiϕ-1)][1- +4q2sin22+q1(eiϕ-1)]+q3(eiϕ-1)2=0. В случае
    λ                 λ
q2=0 выражение упрощается:
    1                2                1
[1- +q1(eiϕ-1)]2+q3(eiϕ-1)2=0 и         =1+(q1±q3)(eiϕ-1). Последнее
    λ                                 λ
выражение совпадает по форме с выражением для множителя
перехода схемы (3.5), откуда 0≤q1±q3≤1. Таким образом,
несмотря на неявность, схема (9.13) условно устойчива.
      Данное обстоятельство впервые было проанализировано в
работе [14]. Было указано, что для безусловной устойчивости
схемы     с    направленной      разностью    следует    использовать
сопряжённые аппроксимации для скорости в первом уравнении и
плотности (давления) во втором уравнении. Если в первом
уравнении для аппроксимации скорости используется правая
разность, то для аппроксимации давления во втором уравнении
следует      использовать      левую     и   наоборот.    Направления
дифференцирования плотности в первом уравнении и скорости
во втором выбираются в соответствии с правилом «против
потока».      Поскольку      уравнение     (9.1)    при    одинаковом
направлении       аппроксимации     плотности    и   скорости   имеет

Страницы