Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

(1+ατA
x
)(1+ατA
y
)
u
^
-u
τ
+(A
x
+A
y
)u=f, (11.49) в
которой
A
x
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
.... . . .
0000 σ(E
2
2
+E
2
1
)
δ
ie
2c
e
σE
1
σE
2
0000 D
E
ωμ
0
σE
1
δ
ie
c
e
D
E
ωμ
0
σ -D
E
(Λ
_
x
Λ
x
+ω
2
μ
0
ε
0
)
0000 D
E
ωμ
0
σE
2
δ
ie
c
e
D
E
(Λ
_
x
Λ
x
+ω
2
μ
0
ε
0
) D
E
ωμ
0
σ
+A
ρvTc
x
где A
x
ρ
vTc
- оператор A
x
схемы (11.28); вид A
y
аналогичен A
x
.
Каждая из двух нижних строк матрицы A
x
представляет собой
векторное уравнение относительно E=(E
x
,E
y
,E
z
). Все три
входящих в него скалярных уравнения имеют одинаковый вид.
Рассмотрим реализацию первого дробного шага (11.49).
(1+ατA
x
)ξ
1
=ξ
0
, (11.49.1)
По аналогии с (11.28.1), (11.49.1) разбивается на два
дробных шага по процессам
(1+ατA
1x
)ξ
11
=ξ
0
, (11.49.2)
(1+ατA
2x
)ξ
1
=ξ
11
, (11.49.3)
A
1x
=
⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
.... . . .
0000 0 0 -D
E
(Λ
_
x
Λ
x
+ω
2
μ
0
ε
0
)
0000 0 D
E
(Λ
_
x
Λ
x
+ω
2
μ
0
ε
0
)0
+A
ρvTc
1x
A
2x
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
.... . . .
0000 σ(E
2
2
+E
2
1
)
δ
ie
2c
e
σE
1
σE
2
0000 D
E
ωμ
0
σE
1
δ
ie
c
e
D
E
ωμ
0
σ 0
0000 D
E
ωμ
0
σE
2
δ
ie
c
e
0D
E
ωμ
0
+A
ρvTc
2x
Где A
ρvTc
1x
и A
ρvTc
2x
- диагональный и недиагональный операторы
соответственно из схемы (11.28.1). Дробный шаг (11.49.2)
реализуется независимыми скалярными прогонками по всем
уравнениям, кроме двух последних. Последние два уравнения
решаются совместно комплекснозначной скалярной или
векторной прогонкой. Реализация дробного шага (11.49.3) с
оператором A
2x
начинается с выражения ξ
E1
и ξ
E2
через ξ
Ce
из
последних двух уравнений и исключения ξ
E1
и ξ
E2
из четвёртого
уравнения. Далее алгоритм полностью аналогичен
рассмотренному выше для (11.28.4).
По аналогии с (11.31) может быть составлена конечно-
разностная схема с уравнениями в дивергентной форме.
(11.48),(11.49) позволяют вычислить стационарные
значения напряжённости, но в ряде задач может представлять
интерес временная эволюция электромагнитного поля. Если 
                  ^
                  u-u
(1+ατAx)(1+ατAy)        +(Ax+Ay)u=f,                   (11.49) в
                    τ
которой
    ....       .                 .          .
   ⎡             2 δie                                 ⎤
   ⎢                                                   ⎥
             2
    0000 σ(E2+E1)2c             σE1        σE2
                        e
Ax=⎢0000 DEωμ0σE1 c
                   δie
                              DEωμ0σ
                                         _
                                     -DE(ΛxΛx+ω μ0ε0)
                                                2      ⎥
                                                      +AρvTc
                                                        x


   ⎢                                                   ⎥
                      e
                    δie
   ⎣                                                   ⎦
                             _
    0000 DEωμ0σE2 c DE(ΛxΛx+ω2μ0ε0)       DEωμ0σ
                       e
где AxρvTc - оператор Ax схемы (11.28); вид Ay аналогичен Ax.
Каждая из двух нижних строк матрицы Ax представляет собой
векторное уравнение относительно E=(Ex,Ey,Ez). Все три
входящих в него скалярных уравнения имеют одинаковый вид.
     Рассмотрим реализацию первого дробного шага (11.49).
(1+ατAx)ξ1=ξ0,                                    (11.49.1)
По аналогии с (11.28.1), (11.49.1) разбивается на два
дробных шага по процессам

(1+ατA1x)ξ11=ξ0,                                     (11.49.2)
(1+ατA2x)ξ1=ξ11,                                     (11.49.3)

    ⎡....   .          .
                               _
                                       .
                                           ⎤
A1x=⎢0000   0          0   -DE(ΛxΛx+ω2μ0ε0)⎥+AρvTc
                                              1x
    ⎣0000                                    ⎦
                   _
          0 DE(ΛxΛx+ω2μ0ε0)         0
     ....      .          .    .
   ⎡              2 δie            ⎤
   ⎢                               ⎥
             2
     0000 σ(E2+E1)2c σE1 σE2
                        e

   ⎢
A2x=                δie
     0000 DEωμ0σE1 c DEωμ0σ 0      ⎥
                                   +AρvTc
                                      2x


   ⎢                               ⎥
                      e
                    δie
   ⎣ 0000 DEωμ0σE2 c
                      e
                          0 DEωμ0  ⎦
Где AρvTc
      1x  и AρvTc
              2x     - диагональный и недиагональный операторы
соответственно из схемы (11.28.1). Дробный шаг (11.49.2)
реализуется независимыми скалярными прогонками по всем
уравнениям, кроме двух последних. Последние два уравнения
решаются    совместно        комплекснозначной     скалярной   или
векторной прогонкой. Реализация дробного шага (11.49.3) с
оператором A2x начинается с выражения ξE1 и ξE2 через ξCe из
последних двух уравнений и исключения ξE1 и ξE2 из четвёртого
уравнения.       Далее       алгоритм      полностью    аналогичен
рассмотренному выше для (11.28.4).
     По аналогии с (11.31) может быть составлена конечно-
разностная схема с уравнениями в дивергентной форме.
     (11.48),(11.49)        позволяют     вычислить   стационарные
значения напряжённости, но в ряде задач может представлять
интерес временная эволюция электромагнитного поля. Если

Страницы