Использование сеточных методов для решения задач механики сплошной среды. Петрусев А.С. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

компоненту E~e
γ
t+i(kr)
, легко убедиться, что Re(γ)<0 и решение
(11.46) устойчиво. При наличии токов смещения Re(γ) в
аналогичном уравнении
∂E
∂t
=D
E
[ΔE+(iωμ
0
σ+ω
2
μ
0
ε
0
)E], (11.47)
может менять знак, и его решение оказывается неустойчивым.
Данное обстоятельство вызвало затруднения у ряда авторов,
моделировавших разряды СВЧ. Так, в [30],[31] авторы
отказались от сеточного метода решения уравнений Максвелла
и воспользовались вариационным методом (поиском
коэффициентов разложения решения в ряд Фурье по шаровым
функциям). Такой подход довольно громоздок, и удобнее
воспользоваться сеточным
методом. Дифференциальное
уравнение с устойчивым решением можно записать, например, в
виде (D
E
>0)
∂E
∂t
+D
E
[-iΔE+(ωμ
0
σ-iω
2
μ
0
ε
0
)E]=0. (11.48)
Подставляя Фурье-компоненту E~e
γ
t+i(kr)
в (11.48), получим,
что Re(γ)=-D
E
ωμ
0
σ≤0 и решение (11.48) устойчиво. Легко
проверить, что при записи (11.48) в действительнозначной
векторно-матричной форме, конечно-разностный аналог
оператора в квадратных скобках положительно определён и
пригоден для схем расщепления:
(u,Au)=(E
1
,Λ
2
E
2
+ωμ
0
σE
1
+ω
2
μ
0
ε
0
E
2
)+(E
2
,-Λ
2
E
1
+ωμ
0
σE
2
-ω
2
μ
0
ε
0
E
1
)=
=ωμ
0
σ(E
2
1
+E
2
2
)+(E
1
,Λ
2
E
2
)-(E
2
,Λ
2
E
1
)>(E
1
,Λ
2
E
2
)-(E
2
,Λ
2
E
1
)=
Σ
i
[E
1i
(E
2i+1
+E
2i-1
-2E
2i
)-E
2i
(E
1i+1
+E
1i-1
-2E
1i
)]/h
2
=
Σ
i
[(E
1i
E
2i+1
-E
1i-1
E
2i
)+(E
1i
E
2i-1
-E
1i+1
E
2i
)]/h
2
=0
Численное решение (11.48) можно проводить аналогично
решению параболического уравнения.
В областях с низкой проводимостью Re(γ) близка к нулю,
что должно замедлять сходимость решения к стационару.
Отчасти это является свойством самой физической задачи: в
областях, где нет поглощения, могут существовать стоячие
волны. Однако такой вывод связан с предположением о
постоянстве проводимости
в расчётной области, неизбежном
при спектральном анализе (11.48). В реальной задаче
сходимость решения в этих областях есть и связана с
перетеканием электромагнитной энергии в области с
поглощением.
Вводя вектор основных переменных U=(ρ,v
x
,v
y
,T,c
i
,E
1
,E
2
)
(среди c
i
должна быть концентрация электронов) и используя
(11.46) или (11.48) приходим к неявной линеаризованной
схеме с расщеплением по направлениям 
компоненту E~eγt+i(kr), легко убедиться, что Re(γ)<0 и решение
(11.46) устойчиво. При наличии токов смещения Re(γ) в
аналогичном уравнении
∂E
  =D [ΔE+(iωμ0σ+ω2μ0ε0)E],                              (11.47)
∂t E
может менять знак, и его решение оказывается неустойчивым.
Данное обстоятельство вызвало затруднения у ряда авторов,
моделировавших разряды СВЧ. Так, в [30],[31] авторы
отказались от сеточного метода решения уравнений Максвелла
и     воспользовались       вариационным     методом      (поиском
коэффициентов разложения решения в ряд Фурье по шаровым
функциям). Такой подход довольно громоздок, и удобнее
воспользоваться       сеточным     методом.     Дифференциальное
уравнение с устойчивым решением можно записать, например, в
виде (DE>0)
∂E
  +D [-iΔE+(ωμ0σ-iω2μ0ε0)E]=0.                          (11.48)
∂t E
Подставляя Фурье-компоненту E~eγt+i(kr) в (11.48), получим,
что Re(γ)=-DEωμ0σ≤0 и решение (11.48) устойчиво. Легко
проверить, что при записи (11.48) в действительнозначной
векторно-матричной       форме,    конечно-разностный        аналог
оператора в квадратных скобках положительно определён и
пригоден для схем расщепления:
(u,Au)=(E1,Λ2E2+ωμ0σE1+ω2μ0ε0E2)+(E2,-Λ2E1+ωμ0σE2-ω2μ0ε0E1)=
       2  2
=ωμ0σ(E1+E2)+(E1,Λ2E2)-(E2,Λ2E1)>(E1,Λ2E2)-(E2,Λ2E1)=
Σ[E
i
                                                 2
    1i(E2i+1+E2i-1-2E2i)-E2i(E1i+1+E1i-1-2E1i)]/h =



Σ[(E
i
                                              2
      1iE2i+1-E1i-1E2i)+(E1iE2i-1-E1i+1E2i)]/h =0

     Численное решение (11.48) можно                проводить   аналогично
решению параболического уравнения.

     В областях с низкой проводимостью Re(γ) близка к нулю,
что должно замедлять сходимость решения к стационару.
Отчасти это является свойством самой физической задачи: в
областях, где нет поглощения, могут существовать стоячие
волны. Однако такой вывод связан с предположением о
постоянстве проводимости в расчётной области, неизбежном
при спектральном анализе (11.48). В реальной задаче
сходимость решения в этих областях есть и связана с
перетеканием   электромагнитной   энергии   в   области    с
поглощением.
     Вводя вектор основных переменных U=(ρ,vx,vy,T,ci,E1,E2)
(среди ci должна быть концентрация электронов) и используя
(11.46) или (11.48) приходим к неявной линеаризованной
схеме с расщеплением по направлениям

Страницы