Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 37 стр.

условием временной устойчивости схемы (3.6) v≥0. Аналогично,
для   схемы   (3.5)   получается  условие   ⎜q/(q-1)⎜≤1, что
справедливо при q≤1/2. Таким образом, схема (3.5) требует
правого краевого условия, а схема (3.6) - левого.
     Бегущий счёт для схемы «квадрат» (3.20) устойчив при
⎜(q-1)/(q+1)⎜≤1 (т.е. v≥0) в случае прохода слева направо и
при ⎜(q+1)/(q-1)⎜≤1 (т.е. v≤0) в обратном случае.
     Таким образом, для устойчивости бегущего счёта, его
направление должно совпадать с направлением потока.
     Схема бегущего счёта применима, если скорость v
сохраняет знак во всей расчётной области. В противном
случае, следует пользоваться схемами (3.15) или (3.7), при
этом матрица системы становится трёхдиагональной.


п.3.Схема трёхдиагональной монотонной прогонки.

     Данный алгоритм предназначен для решения систем,
матрица которых имеет трёхдиагональный вид: отличны от нуля
только элементы главной диагонали, а также ближайших к ней
наддиагонали и поддиагонали. В общем виде такие уравнения
могут быть представлены как:

aiui-1+biui+ciui+1=di                              (4.2)

от i=1 до i=N-1. Система (4.2) должна быть дополнена двумя
краевыми условиями:

b0u0+c0u1=d0                                       (4.3)
aNuN-1+bNuN=dN                                     (4.4)

При этом получается система из N+1 уравнения с N+1
неизвестным. Для решения системы (4.2)-(4.4) Применяется
двухпроходная    прогонка.   При   первом   (прямом)   проходе
исключается одна из побочных диагоналей. Для определённости
будем двигаться сверху вниз, исключая поддиагональ. Первое
уравнение (4.3) уже имеет двухдиагональный вид. Пусть на
некотором шаге первые M уравнений системы (4.2)-(4.4)
приведены к двухдиагональному виду. Тогда из M-1-го
уравнения можно выразить um-1: um-1=-cm-1/bm-1um+dm-1/bm-1, и
исключить um-1 из M-того уравнения. При этом M-тое уравнение
принимает двухдиагональный вид. На последнем шаге прямого
прохода   правое    краевое   условие   (4.4)   приводится   к
диагональному виду. Второй (обратный) проход идентичен
схеме бегущего счёта с правым краевым условием первого
рода.
     Возможна прогонка в обратном направлении: прямой проход
снизу вверх, обратный - сверху вниз.
     Монотонная прогонка включает O(N) операций, является
экономичной    и   широко   применяется    на   практике.   Её
трудоёмкость примерно втрое выше, чем схемы бегущего счёта.