Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

1
⎜λ⎜
2
=[1+(q
1
+2⎜q
2
⎜)sin
2
ϕ
2
]
2
+q
2
2
sin
2
ϕ. Схема безусловно устойчива.
в)Схема Кранка-Николсона с центральной разностью
u
^
i
-u
i
τ
+
1
2
[v
u
^
i+1
-u
^
i-1
2h
-D
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
+v
u
i+1
-u
i-1
2h
-
-D
u
i+1
-2u
i
+u
i-1
h
2
]=0 (3.37)
Обеспечивает погрешность O(τ
2
+h
2
).
⎜λ⎜
2
=[(1-q
1
sin
2
ϕ
2
)
2
+q
2
2
sin
2
ϕ]/[(1+q
1
sin
2
ϕ
2
)
2
+q
2
2
sin
2
ϕ]. Схема
безусловно устойчива.
г)Схема Кранка-Николсона «против потока»
u
^
i
-u
i
τ
+
1
2
[±v
u
^
i±1
-u
^
i
h
-D
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
±v
u
i±1
-u
i
h
i
-
-D
u
i+1
-2u
i
+u
i-1
h
2
]=0 (3.38)
Обеспечивает погрешность O(τ
2
+h).
⎜λ⎜
2
=
[1-(q
1
+2⎜q
2
⎜)sin
2
ϕ
2
]
2
+q
2
2
sin
2
ϕ
[1+(q
1
+2⎜q
2
⎜)sin
2
ϕ
2
]
2
+q
2
2
sin
2
ϕ
. Схема безусловно устойчива.
Значительно легче безусловная устойчивость схем (3.35)-
(3.38) доказывается методом энергетических неравенств. Она
немедленно следует из знакоопределённости операторов Λ
2
, Λ
2
,
Λ
+
, Λ
-
и доказанной выше устойчивости схемы Кранка-Николсона
общего вида.
§4.Реализация одномерного
разностного метода.
п.1. Понятие реализации метода.
Любой конечно-разностный метод должен быть дополнен
алгоритмом его реализации - решения конечно-разностных
уравнений на верхнем слое. В случае явных методов такая
реализация очевидна: переменные на верхнем слое
непосредственно выражаются через переменные на нижнем слое.
Простота реализации является важным преимуществом явных
методов. Очевидно, для
явных схем один временной шаг
«стоит» O(N) арифметических операций, где N - число узлов
сетки. Разностные схемы имеющие трудоёмкость O(N),
называются экономичными. Таким образом, явные схемы
экономичны. Однако из-за ограничений на шаг по времени,
связанных с условиями Куранта τ≤τ
0
, расчёт большинства задач
по явным схемам требует чрезвычайно много временных шагов, 
 1                        2ϕ 2    2
    2=[1+(q1+2⎜q2⎜)sin 2] +q2sin ϕ. Схема безусловно устойчива.
                                        2
⎜λ⎜
в)Схема Кранка-Николсона с центральной разностью
ui-ui 1 ^
^                ^
            ui+1-u    ^
                      ui+1-2u  ^ +u ^      ui+1-ui-1
                  i-1            i    i-1
      +2[v 2h -D              h 2        +v   2h -
  τ
   ui+1-2ui+ui-1
-D       h2      ]=0                                           (3.37)
Обеспечивает погрешность O(τ2+h2).
                  ϕ     2                        ϕ   2
⎜λ⎜2=[(1-q1sin22)2+q2sin2ϕ]/[(1+q1sin22)2+q2sin2ϕ].                 Схема
безусловно устойчива.
г)Схема Кранка-Николсона «против потока»
^
ui-ui 1      ^    ^
             ui±1-u   ^
                      ui+1-2u ^ +u  ^     ui±1-ui
                   i            i    i-1
      +2[±v h -D             h 2        ±v   hi -
  τ
   ui+1-2ui+ui-1
-D       h2      ]=0                                           (3.38)
Обеспечивает погрешность O(τ2+h).
                           ϕ      2
      [1-(q1+2⎜q2⎜)sin22]2+q2sin2ϕ
⎜λ⎜2=                                     . Схема безусловно устойчива.
                          2ϕ 2    2
      [1+(q1+2⎜q2⎜)sin 2] +q2sin ϕ      2


       Значительно легче безусловная устойчивость схем (3.35)-
(3.38) доказывается методом энергетических неравенств. Она
немедленно следует из знакоопределённости операторов Λ2, Λ2,
Λ+, Λ- и доказанной выше устойчивости схемы Кранка-Николсона
общего вида.



               §4.Реализация одномерного
                  разностного метода.

п.1. Понятие реализации метода.

     Любой конечно-разностный метод должен быть дополнен
алгоритмом его реализации - решения конечно-разностных
уравнений на верхнем слое. В случае явных методов такая
реализация    очевидна:    переменные    на    верхнем  слое
непосредственно выражаются через переменные на нижнем слое.
Простота реализации является важным преимуществом явных
методов. Очевидно, для явных схем один временной шаг
«стоит» O(N) арифметических операций, где N - число узлов
сетки.   Разностные   схемы    имеющие    трудоёмкость O(N),
называются   экономичными.   Таким    образом,   явные схемы
экономичны. Однако из-за ограничений на шаг по времени,
связанных с условиями Куранта τ≤τ0, расчёт большинства задач
по явным схемам требует чрезвычайно много временных шагов,

Страницы