Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=h(u,Λ
+
v)+h(v,Λ
-
u)=
Σ
i
[u
i
(v
i+1/2
-v
i-1/2
)+v
i-1/2
(u
i
-u
i-1
)]=
Σ
i
(u
i
v
i+1/2
-
v
i-1/2
u
i-1
)=u
N-1
v
N-1/2
-v
1/2
u
0
=0 в силу краевых условий.
На основе (3.32) можно составить схему Кранка-
Николсона, обеспечивающую безусловную устойчивость и
аппроксимацию O(τ
2
+h
2
).
Для решения (3.31) может быть использована и схема
«квадрат».
u
^
i
-u
i
+u
^
i+1
-u
i+1
τ
+cΛ
+
(v
i
+v
^
i
)=0
v
^
i
-v
i
+v
^
i+1
-v
i+1
τ
+cΛ
+
(u
i
+u
^
i
)=0
(3.33)
Схема «квадрат» безусловно устойчива и аппроксимирует
(3.31) с погрешностью O(τ
2
+h
2
). Для доказательства
безусловной устойчивости схемы (3.33) достаточно сложить и
вычесть уравнения (3.33). При этом видно, что ξ
±
=u±v
удовлетворяет схеме «квадрат» (3.20) для уравнения переноса
ξ
±
^
i
-ξ
±
i
+ξ
±
^
i+1
-ξ
±
i+1
τ
±cΛ
+
(ξ
±
i
+ξ
±
^
i
)=0, устойчивость которой доказана
выше.
п.4. Устойчивость и аппроксимация разностных схем для
уравнения переноса с диффузией (уравнения Бюргерса).
Рассмотрим одномерное уравнение
∂u/∂t+v∂u/∂x=D∂
2
u/∂x
2
. (3.34)
Данное уравнение имеет второй порядок пространственных
производных, и для него необходим по меньшей мере
трёхточечный шаблон. Не останавливаясь на явных схемах,
рассмотрим три неявные разностные схемы.
а)Схема с центральной разностью
u
^
i
-u
i
τ
-D
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
+v
u
^
i+1
-u
^
i-1
2h
=0 (3.35)
Обеспечивает погрешность O(τ+h
2
). Множитель перехода имеет
вид:
⎜λ⎜
2
=1/[(1+q
1
sin
2
ϕ
2
)
2
+q
2
2
sin
2
ϕ]. Очевидно схема (3.35)
безусловно устойчива.
б)Схема «против потока»
u
^
i
-u
i
τ
-D
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
±v
u
^
i±1
-u
^
i
h
=0 (3.36)
Обеспечивает погрешность O(τ+h). Множитель перехода имеет
вид: 
                     Σ                                   Σ
=h(u,Λ+v)+h(v,Λ-u)= [ui(vi+1/2-vi-1/2)+vi-1/2(ui-ui-1)]= (uivi+1/2-
                      i                                   i
vi-1/2ui-1)=uN-1vN-1/2-v1/2u0=0 в силу краевых условий.
       На     основе      (3.32)    можно   составить  схему   Кранка-
Николсона,          обеспечивающую      безусловную   устойчивость   и
                        2   2
аппроксимацию O(τ +h ).
       Для решения (3.31) может быть использована и схема
«квадрат».
^
ui-ui+u ^ -u
          i+1   i+1
                   +cΛ+(vi+v^ )=0
         τ                    i

^       ^ -v                                                (3.33)
vi-vi+v   i+1   i+1         ^
                   +cΛ+(ui+ui)=0
         τ
Схема «квадрат» безусловно устойчива и аппроксимирует
(3.31)        с     погрешностью      O(τ2+h2).   Для   доказательства
безусловной устойчивости схемы (3.33) достаточно сложить и
вычесть уравнения (3.33). При этом видно, что ξ±=u±v
удовлетворяет схеме «квадрат» (3.20) для уравнения переноса
ξ^±i-ξ±i+ξ^±i+1-ξ±i+1
                     ±cΛ+(ξ±i+ξ^±i)=0, устойчивость которой доказана
           τ
выше.


п.4. Устойчивость и аппроксимация разностных схем                  для
уравнения переноса с диффузией (уравнения Бюргерса).


     Рассмотрим одномерное уравнение
∂u/∂t+v∂u/∂x=D∂2u/∂x2.                                    (3.34)

Данное уравнение имеет второй порядок пространственных
производных,      и   для     него   необходим по   меньшей   мере
трёхточечный шаблон. Не останавливаясь на явных схемах,
рассмотрим три неявные разностные схемы.
а)Схема с центральной разностью
^
ui-ui ^      ^ +u
       ui+1-2u   ^      ^    ^
                        ui+1-u
               i  i-1          i-1
     -D      h2      +v    2h     =0                    (3.35)
  τ
Обеспечивает погрешность O(τ+h2). Множитель перехода имеет
вид:
                   ϕ     2
⎜λ⎜2=1/[(1+q1sin22)2+q2sin2ϕ].        Очевидно    схема     (3.35)
безусловно устойчива.
б)Схема «против потока»
ui-ui ^
^            ^ +u
       ui+1-2u   ^     ^
                       ui±1-u^
               i  i-1         i
     -D      h2      ±v    h =0                         (3.36)
  τ
Обеспечивает погрешность O(τ+h). Множитель перехода имеет
вид:

Страницы