Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

u
^
i
-u
i
τ
=D
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
(3.23)
(неявная), и комбинированная схема с весами:
u
^
i
-u
i
τ
=D[α
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
+(1-α)
u
i+1
-2u
i
+u
i-1
h
2
] (3.24)
Используя выражения (2.11)-(2.14) несложно найти, что
данные схемы на равномерной сетке аппроксимируют уравнение
(3.21) с порядком O(h
2
+τ). Комбинированная схема при α=0,5
переходит в схему Кранка-Николсона и обеспечивает
погрешность аппроксимации O(h
2
+τ
2
).
Для анализа устойчивости по спектральному признаку,
подставим Фурье-компоненту λ
n
e
ikx
в уравнения (3.22)-(3.24) и
получим (для краткости положим kh=ϕ):
λ=1-qsin
2
ϕ
2
(3.25)
для схемы (3.22),
λ=1/[1+qsin
2
ϕ
2
] (3.26)
для схемы (3.23),
λ=[1-(1-α)qsin
2
ϕ
2
]/(1+αqsin
2
ϕ
2
) (3.27)
для схемы (3.24), где q=4Dτ/h
2
- число Куранта. Схема (3.22)
устойчива при q≤2. Схема (3.23) безусловно устойчива. Схема
с весами безусловно устойчива при α≥0,5 и условно устойчива
при 0≤α<0,5. Условие устойчивости явной схемы τ≤h
2
/2D часто
оказывается весьма обременительным и для решения уравнения
(3.21) используют неявные схемы.
С точки зрения энергетического метода, из отрицательной
определённости оператора Λ
2
следует безусловная устойчивость
схемы (3.23) и схемы с весами (3.24) при α≥0,5. Условие
Куранта для схемы (3.22) следует из (2.35):
τ≤2min
u
(u,Au)
(Au)
2
=-
2
D
min
u
(u,Λ
2
u)
(Λ
2
u)
2
=
h
D
min
u
(u,(Λ
-
-Λ
2
)u)
((Λ
-
-Λ
2
)u)
2
=
=
h
D
min
u
(u,Λ
-
u)-(u,Λ
2
u)
(Λ
-
u)
2
+(Λ
2
u)
2
-2(Λ
-
u,Λ
2
u)
=
h
2
2D
min
u
(Λ
-
u)
2
(Λ
-
u)
2
-(Λ
2
u)
2
=
h
2
2D
;
минимум достигается при Λ
2
u=0.
п.3. Устойчивость и аппроксимация разностных схем для
волнового уравнения.
Одномерное волновое уравнение
∂
2
u/∂t
2
=с
2
∂
2
u/∂x
2
, (3.28)
является задачей Коши второго порядка по времени, и для его
аппроксимации необходима, по крайней мере, трёхслойная
схема.
а)Явная схема. Используя аппроксимацию (2.14), получим: 
^
ui-ui ^  ui+1-2u^ +u ^
                  i    i-1
      =D        h2                                                  (3.23)
  τ
(неявная), и комбинированная схема с весами:
^
ui-ui       ^
            ui+1-2u ^ +u ^          ui+1-2ui+ui-1
                      i    i-1
      =D[α         h2         +(1-α)       h2    ]                  (3.24)
  τ
       Используя выражения (2.11)-(2.14) несложно найти, что
данные схемы на равномерной сетке аппроксимируют уравнение
(3.21) с порядком O(h2+τ). Комбинированная схема при α=0,5
переходит         в      схему      Кранка-Николсона        и     обеспечивает
                                          2   2
погрешность аппроксимации O(h +τ ).
       Для анализа устойчивости по спектральному признаку,
подставим Фурье-компоненту λneikx в уравнения (3.22)-(3.24) и
получим (для краткости положим kh=ϕ):
            ϕ
λ=1-qsin22                                                          (3.25)
для схемы (3.22),
                 ϕ
λ=1/[1+qsin22]                                                      (3.26)
для схемы (3.23),
                      ϕ               ϕ
λ=[1-(1-α)qsin22]/(1+αqsin22)                                       (3.27)
для схемы (3.24), где q=4Dτ/h2 - число Куранта. Схема (3.22)
устойчива при q≤2. Схема (3.23) безусловно устойчива. Схема
с весами безусловно устойчива при α≥0,5 и условно устойчива
при 0≤α<0,5. Условие устойчивости явной схемы τ≤h2/2D часто
оказывается весьма обременительным и для решения уравнения
(3.21) используют неявные схемы.
       С точки зрения энергетического метода, из отрицательной
определённости оператора Λ2 следует безусловная устойчивость
схемы (3.23) и схемы с весами (3.24) при α≥0,5. Условие
Куранта для схемы (3.22) следует из (2.35):
        (u,Au) 2            (u,Λ2u) h      (u,(Λ--Λ2)u)
τ≤2min (Au)2 =-Dmin                = min                =
     u                  u    (Λ2u)2 D u ((Λ--Λ2)u)2
 h           (u,Λ-u)-(u,Λ2u)              h2       (Λ-u)2       h2
=Dmin                                   =    min             2 2D;
                                                              =
    u (Λ-u) +(Λ u) -2(Λ-u,Λ u) 2D u (Λ-u) -(Λ u)
              2     2    2          2                2    2

минимум достигается при Λ2u=0.


п.3. Устойчивость и           аппроксимация       разностных      схем    для
волнового уравнения.

     Одномерное волновое уравнение
∂ u/∂t2=с2∂2u/∂x2,
 2
                                                  (3.28)
является задачей Коши второго порядка по времени, и для его
аппроксимации необходима, по крайней мере, трёхслойная
схема.
а)Явная схема. Используя аппроксимацию (2.14), получим:

Страницы