Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Следовательно, для безусловной устойчивости схемы с весами
при α≥0,5 (в том числе схемы Кранка-Николсона) достаточно
неотрицательности оператора A. При α<0,5 помимо этого для
устойчивости требуется выполнение условия Куранта:
τ≤
2
1-2α
min
u
(u,Au)
(Au)
2
,
которое при α=0 переходит в (2.35).
В практике численного счёта получили распространение
так называемые характеристические схемы или схемы
дифференциального приближения. Рассмотрим, например схему
(3.15), и выпишем для неё главный член погрешности:
u
^
i
-u
i
τ
±v
u
i±1
-u
i
h
i
=u
t
+τ/2u
tt
+O(τ
2
)+vu
x
-⏐v⏐h/2u
xx
+O(h
2
)
Поскольку точное решение удовлетворяет уравнению (3.1), то
u
tt
=v
2
u
xx
, и остаточный член может быть представлен в виде
⎜v⎜h/2(1+⎜v⎜τ/h)u
xx
+O(τ
2
+h
2
). Аппроксимируя u
xx
конечной
разностью, получим «характеристическую схему»:
u
^
i
-u
i
τ
±v
u
i±1
-u
i
h
+
⎜v⏐h
2
(1-
⎜v⏐τ
h
)
u
i+1
+u
i-1
-2u
i
h
2
=0, (3.19)
или
u
^
i
-u
i
τ
+vΛ
2
u
i
-
v
2
τ
2
Λ
2
2
u
i
=0 (3.19а)
(схему Лакса-Вендроффа), аппроксимирующую (3.1) с
погрешностью O(τ
2
+h
2
). Разумеется, второй порядок
аппроксимации получается только при v=const. Подставляя
Фурье-компоненту, получим, что:
λ=1-2q
2
sin
2
ϕ
2
±i⎜q⎜sinϕ
⎜λ⎜
2
=1+4sin
2
ϕ
2
q
2
(q
2
-1).
Схема (3.19) устойчива при ⎜q⎜≤1.
Метод дифференциальных приближений применим и в общем
случае уравнения типа
∂u
∂t
+Au=f, решаемого явным методом
u
^
-u
τ
+A
h
u=f, который обеспечивает аппроксимацию O(τ+h
q
)=
τ
2
u
tt
+
+O(τ
2
+h
q
). Порядок аппроксимации по времени можно повысить,
воспользовавшись дифференциальным уравнением
∂
∂t
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
∂u
∂t
+Au-f =0
откуда u
tt
=f
t
-A
t
u-Au
t
=f
t
-A
t
u-A(f-Au)=f
t
-Af+(A
2
-A
t
)u. Тогда
схема
u
^
-u
τ
+[A+
τ
2
(A
t
-A
2
)]
h
u=f+
τ
2
(f
t
-Af)
будет аппроксимировать исходное уравнение с погрешностью
O(τ
2
+h
q
). Вопрос об устойчивости такой уточнённой схемы
требует отдельного исследования. 
Следовательно, для безусловной устойчивости схемы с весами
при α≥0,5 (в том числе схемы Кранка-Николсона) достаточно
неотрицательности оператора A. При α<0,5 помимо этого для
устойчивости требуется выполнение условия Куранта:
     2      (u,Au)
τ≤      min (Au)2 ,
   1-2α u
которое при α=0 переходит в (2.35).
       В практике численного счёта получили распространение
так      называемые       характеристические      схемы     или     схемы
дифференциального приближения. Рассмотрим, например схему
(3.15), и выпишем для неё главный член погрешности:
^
ui-ui ui±1-ui
       ±v h     =ut+τ/2utt+O(τ2)+vux-⏐v⏐h/2uxx+O(h2)
   τ        i
Поскольку точное решение удовлетворяет уравнению (3.1), то
utt=v2uxx, и остаточный член может быть представлен в виде
⎜v⎜h/2(1+⎜v⎜τ/h)uxx+O(τ2+h2).          Аппроксимируя    uxx      конечной
разностью, получим «характеристическую схему»:
^
ui-ui ui±1-ui ⎜v⏐h       ⎜v⏐τ ui+1+ui-1-2ui
       ±v h + 2 (1- h )             h2     =0,                (3.19)
   τ
или
^
ui-ui          v2τ 2
       +vΛ ui- 2 Λ2ui=0
          2
                                                              (3.19а)
   τ
(схему       Лакса-Вендроффа),          аппроксимирующую      (3.1)        с
                        2    2
погрешностью         O(τ +h ).       Разумеется,     второй       порядок
аппроксимации получается только при v=const. Подставляя
Фурье-компоненту, получим, что:
              ϕ
λ=1-2q2sin22±i⎜q⎜sinϕ
              ϕ
⎜λ⎜2=1+4sin22q2(q2-1).
Схема (3.19) устойчива при ⎜q⎜≤1.
       Метод дифференциальных приближений применим и в общем
                               ∂u                                      ^
                                                                       u-u
случае уравнения типа            +Au=f, решаемого явным методом
                               ∂t                                        τ
                                                                     τ
+Ahu=f, который обеспечивает аппроксимацию O(τ+hq)=2utt+
+O(τ2+hq). Порядок аппроксимации по времени можно повысить,
                                                            ∂ ⎛∂u      ⎞
воспользовавшись дифференциальным уравнением                  ⎜ +Au-f⎟=0
                                                           ∂t⎝∂t       ⎠
откуда       utt=ft-Atu-Aut=ft-Atu-A(f-Au)=ft-Af+(A2-At)u.          Тогда
схема
^
u-u       τ                τ
     +[A+2(At-A2)]hu=f+2(ft-Af)
  τ
будет аппроксимировать исходное уравнение с погрешностью
O(τ2+hq). Вопрос об устойчивости такой уточнённой схемы
требует отдельного исследования.

Страницы