Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

скорость среды может менять знак, схемы «правый уголок» и
«левый уголок» используются совместно:
u
^
i
-u
i
τ
±v
u
i±1
-u
i
h
i
=0 (3.15)
u
^
i
-u
i
τ
±v
u
^
i±1
-u
^
i
h
i
=0 (3.16)
где знак «плюс» выбирается в случае отрицательной скорости,
«минус» - в случае положительной.
Аналогичный результат для неявных схем (3.16) и (3.7)
даёт использование метода энергетических неравенств. В
самом деле, для безусловной устойчивости (3.16) необходима
и достаточна неотрицательность оператора A=vΛ
±
. Поскольку,
как показано выше, оператор Λ
+
отрицательно определён, его
следует использовать при v≤0. Оператор Λ
-
положительно
определён, и его следует использовать при v≥0. Неявная схема
с центральной разностью (3.7) безусловно устойчива
независимо от знака скорости, поскольку, как показано выше,
(vΛ
2
u,u)=0.
Что касается схем с весами, то в отношении устойчивости
при 0≤α<0,5 они ведут себя как явные, а при α≥0,5 - как
неявные. Так, для комбинации из (3.2) и (3.5) получим:
⎜λ⎜
2
=
1+4q(1-α)[q(1-α)+1]sin
2
ϕ
2
1+4qα(qα-1)sin
2
ϕ
2
(3.17)
При q≤0 и α≥0,5 схема с весами устойчива. Аналогично схема с
весами из (3.3) и (3.6) устойчива при q≥0 и α≥0,5. Для схемы
с весами на основе (3.4) и (3.7) имеем:
⎜λ⎜
2
=[1+(1-α)
2
q
2
sin
2
ϕ]/[1+α
2
q
2
sin
2
ϕ] (3.18)
При α≥0,5 эта схема безусловно устойчива независимо от знака
скорости.
Весьма наглядно воспользоваться энергетическим методом
для исследования устойчивости однородной схемы с весами:
u
^
-u
τ
+αAu
^
+(1-α)Au=0 или (1+ατA)u
^
=[1+(1-α)τA]u.
Для устойчивости требуется ⎢⎟(1+ατA)
-1
[1+(α-1)τA]⎢⎟≤1.
Пользуясь коммутативностью операторов (1+ατA)
-1
и 1+(α-1)τA
⎢⎟(1+ατA)
-1
[1+(α-1)τA]⎢⎟
2
=max
u
{(1+ατA)
-1
[1+(α-1)τA]u}
2
u
2
=
=max
w
{[1+(α-1)τA]w}
2
[(1+ατA)w]
2
=max
w
w
2
+2(α-1)τ(Aw,w)+(α-1)
2
τ
2
(Aw)
2
w
2
+2ατ(Aw,w)
2
+α
2
τ
2
(Aw)
2
=
=1-min
w
2τ(Aw,w)+(2α-1)τ
2
(Aw)
2
w
2
+2ατ(Aw,w)
2
+τ
2
(Aw)
2
. Т.е., для устойчивости
требуется, чтобы для произвольной сеточной функции w
2τ(Aw,w)+(2α-1)τ
2
(Aw,Aw)≥0, что, очевидно, выполнено для
любого неотрицательного оператора A при α≥0,5. 
 скорость среды может менять знак, схемы «правый уголок» и
 «левый уголок» используются совместно:
 ^
 ui-ui ui±1-ui
        ±v h       =0                                          (3.15)
    τ          i
 ^
 ui-ui ^   ui±1-u^
                  i
        ±v h       =0                                          (3.16)
    τ          i
 где знак «плюс» выбирается в случае отрицательной скорости,
«минус» - в случае положительной.
         Аналогичный результат для неявных схем (3.16) и (3.7)
 даёт использование метода энергетических неравенств. В
 самом деле, для безусловной устойчивости (3.16) необходима
 и достаточна неотрицательность оператора A=vΛ±. Поскольку,
 как показано выше, оператор Λ+ отрицательно определён, его
следует использовать при v≤0. Оператор Λ- положительно
 определён, и его следует использовать при v≥0. Неявная схема
с       центральной      разностью     (3.7)     безусловно     устойчива
независимо от знака скорости, поскольку, как показано выше,
(vΛ2u,u)=0.
         Что касается схем с весами, то в отношении устойчивости
при 0≤α<0,5 они ведут себя как явные, а при α≥0,5 - как
неявные. Так, для комбинации из (3.2) и (3.5) получим:
                                    ϕ
        1+4q(1-α)[q(1-α)+1]sin22
⎜λ⎜2=                                                          (3.17)
                              2ϕ
             1+4qα(qα-1)sin 2
 При q≤0 и α≥0,5 схема с весами устойчива. Аналогично схема с
 весами из (3.3) и (3.6) устойчива при q≥0 и α≥0,5. Для схемы
 с весами на основе (3.4) и (3.7) имеем:
 ⎜λ⎜2=[1+(1-α)2q2sin2ϕ]/[1+α2q2sin2ϕ]                          (3.18)
 При α≥0,5 эта схема безусловно устойчива независимо от знака
 скорости.
         Весьма наглядно воспользоваться энергетическим методом
 для исследования устойчивости однородной схемы с весами:
 ^
 u-u
       +αAu^+(1-α)Au=0 или (1+ατA)u   ^=[1+(1-α)τA]u.
   τ
         Для     устойчивости     требуется    ⎢⎟(1+ατA)-1[1+(α-1)τA]⎢⎟≤1.
 Пользуясь коммутативностью операторов (1+ατA)-1 и 1+(α-1)τA
                                  {(1+ατA)-1[1+(α-1)τA]u}2
⎢⎟(1+ατA)-1[1+(α-1)τA]⎢⎟2=max                u2             =
                                u
        {[1+(α-1)τA]w}2        w2+2(α-1)τ(Aw,w)+(α-1)2τ2(Aw)2
 =max                    =max                                   =
     w    [(1+ατA)w]2       w      w2+2ατ(Aw,w)2+α2τ2(Aw)2
          2τ(Aw,w)+(2α-1)τ2(Aw)2
 =1-min 2                           .    Т.е.,      для      устойчивости
        w   w +2ατ(Aw,w)2+τ2(Aw)2
 требуется, чтобы для произвольной сеточной функции w
2τ(Aw,w)+(2α-1)τ2(Aw,Aw)≥0, что, очевидно, выполнено для
любого          неотрицательного       оператора      A     при    α≥0,5.

Страницы