Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

u
^
i
-u
i
τ
+v
u
^
i+1
-u
^
i
h
i
=0 (3.5)
(«неявный правый уголок»)
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
^
i
-u
^
i-1
h
i
=0 (3.6)
(«неявный левый уголок»)
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
^
i+1
-u
^
i-1
h
i
+h
i-1
=0 (3.7)
(неявная схема с центральной разностью)
Комбинируя явную и неявную схемы получаем семейство «схем с
весами», например из (3.2) и (3.5) получим:
u
^
i
-u
i
τ
+v[α
u
^
i+1
-u
^
i
h
i
+(1-α)
u
i+1
-u
i
h
i
]=0 (3.8)
Где α - «вес» неявной части. При α=0,5 соответствующая
схема носит название схемы Кранка-Николсона.
п.3.Устойчивость и аппроксимация разностных схем для
уравнения переноса.
а)Аппроксимация.
Схемы (3.2),(3.3),(3.5),(3.6) аппроксимируют уравнение
(3.1) с погрешностью O(h+τ). Рассмотрим, например схему
(3.2):
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
i+1
-u
i
h
i
=u
t
(x
i
,t
n
)+τ/2u
tt
+O(τ
2
)+v[u
x
(x
i
,t
n
)+h/2u
xx
+ +O(h
2
)]=
=u
t
+vu
x
+O(τ+h)
Схемы (3.4),(3.7) аппроксимируют уравнение (3.1) с
погрешностью O(h
2
+τ). Рассмотрим, например схему (3.4).
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
i+1
-u
i-1
h
i
+h
i-1
=u
t
(x
i
,t
n
)+τ/2u
tt
+O(τ
2
)+v[u
x
(x
i
,t
n
)+O(h
2
)]=
=u
t
+vu
x
+O(τ+h
2
)
В случае схем Кранка-Николсона составленных из (3.2)-(3.5)
или (3.3)-(3.6) получим погрешность аппроксимации O(τ
2
+h).
Например, для схемы на основе (3.2)-(3.5) имеем:
u
^
i
-u
i
τ
+
v
2
(
u
i+1
-u
i
h
i
+
u
^
i+1
-u
^
i
h
i
)=u
t
(x
i
,t
n+1/2
)+O(τ
2
)+
v/2[u
x
(x
i
,t
n+1/2
)-u
xx
h/2+O(h
2
)-u
xt
τ/2+O(τ
2
)+
u
x
(x
i
,t
n+1/2
)-u
xx
h/2+O(h
2
)+u
xt
τ/2+O(τ
2
)]=u
t
+vu
x
+O(τ
2
+h)
Аналогично, для схемы Кранка-Николсона на основе (3.4)-
(3.7) получаем погрешность O(τ
2
+h
2
). Схемы с весами при 
^
ui-ui ^ui+1-u^
               i
     +v h       =0                                      (3.5)
  τ        i
(«неявный правый уголок»)
ui-ui ^
^      ui-u^
             i-1
     +v h       =0                                      (3.6)
  τ        i
(«неявный левый уголок»)
ui-ui ^
^      ui+1-u^
               i-1
     +v h +h      =0                                    (3.7)
  τ      i    i-1
(неявная схема с центральной разностью)

Комбинируя явную и неявную схемы получаем семейство «схем с
весами», например из (3.2) и (3.5) получим:

^
ui-ui    ^
         ui+1-u^       ui+1-ui
                i
     +v[α h      +(1-α) h     ]=0                       (3.8)
  τ          i             i


Где α - «вес» неявной части. При α=0,5 соответствующая
схема носит название схемы Кранка-Николсона.

п.3.Устойчивость   и     аппроксимация     разностных    схем   для
уравнения переноса.

а)Аппроксимация.
     Схемы (3.2),(3.3),(3.5),(3.6) аппроксимируют уравнение
(3.1) с погрешностью O(h+τ). Рассмотрим, например схему
(3.2):
^
ui-ui ui+1-ui
     +v h      =ut(xi,tn)+τ/2utt+O(τ2)+v[ux(xi,tn)+h/2uxx+ +O(h2)]=
  τ        i

=ut+vux+O(τ+h)
     Схемы (3.4),(3.7) аппроксимируют уравнение (3.1) с
погрешностью O(h2+τ). Рассмотрим, например схему (3.4).
^
ui-ui ui+1-ui-1
     +v h +h     =ut(xi,tn)+τ/2utt+O(τ2)+v[ux(xi,tn)+O(h2)]=
  τ      i   i-1

=ut+vux+O(τ+h2)

В случае схем Кранка-Николсона составленных из (3.2)-(3.5)
или (3.3)-(3.6) получим погрешность аппроксимации O(τ2+h).
Например, для схемы на основе (3.2)-(3.5) имеем:

^
ui-ui v ui+1-ui ^ui+1-u^
                        i
     +2( h      + h      )=ut(xi,tn+1/2)+O(τ2)+
  τ         i        i

v/2[ux(xi,tn+1/2)-uxxh/2+O(h2)-uxtτ/2+O(τ2)+
     ux(xi,tn+1/2)-uxxh/2+O(h2)+uxtτ/2+O(τ2)]=ut+vux+O(τ2+h)

Аналогично, для схемы Кранка-Николсона на           основе (3.4)-
(3.7) получаем погрешность O(τ2+h2). Схемы          с весами при

Страницы