Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

α≠0,5 имеют такую же погрешность аппроксимации, как и
исходные схемы, из которых они составлены.
б)Устойчивость.
Подставляя Фурье-компоненту λ
n
e
ikx
в уравнения (3.2)
получим (для краткости обозначим kh=ϕ):
[(λ-1)/τ + v(e
i
ϕ
-1)/h]λ
n
e
ikx
=0
Откуда
⎜λ⎜
2
=1+4q(q+1)sin
2
ϕ
2
, (3.9)
где q=vτ/h - число Куранта. Аналогично, для схем (3.3)-(3.7)
получим:
⎜λ⎜
2
=1+4q(q-1)sin
2
ϕ
2
(3.10)
для схемы (3.3),
⎜λ⎜
2
=1+q
2
sin
2
ϕ (3.11)
для схемы (3.4),
1
⎜λ⎜
2
=1+4q(q-1)sin
2
ϕ
2
(3.12)
для схемы (3.5),
1
⎜λ⎜
2
=1+4q(q+1)sin
2
ϕ
2
(3.13)
для схемы (3.6),
1
⎜λ⎜
2
=1+q
2
sin
2
ϕ (3.14)
для схемы (3.7).
Условия устойчивости для схемы (3.2) имеет вид -1≤q≤0, для
схемы (3.3) - 0≤q≤1, а схема (3.4) безусловно неустойчива.
Для неявных схем условия устойчивости имеют вид: q≤0 или q≥1
(для (3.5)), q≥0 или q≤-1 (для (3.6)), а схема (3.7)
безусловно устойчива при любом знаке скорости. Таким
образом, для устойчивости разностных схем с несимметричной
аппроксимацией пространственной производной, направление
дифференцирования должно быть согласовано со знаком числа
Куранта (т.е. с направлением скорости v). Это условие
называют правилом аппроксимации «против потока». Физически
его можно истолковать следующим образом. В случае v>0
частицы среды движутся слева направо, и разностная схема,
отражающая это обстоятельство, для построения решения в
момент времени t+τ должна
использовать распределение поля u
слева от счётного узла. Поле справа от счётного узла
сместится ещё правее и на решение повлиять не может.
Следовательно, при v>0 следует использовать левую
производную, а при v>0 - правую. Схемы (3.4) и (3.7),
использующие центральную разность, нечувствительны к знаку
скорости. Для обеспечения устойчивости в задачах, где 
α≠0,5 имеют такую же погрешность аппроксимации,           как   и
исходные схемы, из которых они составлены.

б)Устойчивость.
     Подставляя Фурье-компоненту λneikx   в   уравнения   (3.2)
получим (для краткости обозначим kh=ϕ):

[(λ-1)/τ + v(eiϕ-1)/h]λneikx=0
Откуда
                   ϕ
⎜λ⎜2=1+4q(q+1)sin22,                              (3.9)
где q=vτ/h - число Куранта. Аналогично, для схем (3.3)-(3.7)
получим:
                   ϕ
⎜λ⎜2=1+4q(q-1)sin22                               (3.10)
для схемы (3.3),
⎜λ⎜2=1+q2sin2ϕ                                    (3.11)
для схемы (3.4),
 1                2ϕ
    2=1+4q(q-1)sin 2                              (3.12)
⎜λ⎜
для схемы (3.5),
 1                2ϕ
    2=1+4q(q+1)sin 2                              (3.13)
⎜λ⎜
для схемы (3.6),
 1
     =1+q2sin2ϕ                                   (3.14)
⎜λ⎜2
для схемы (3.7).
Условия устойчивости для схемы (3.2) имеет вид -1≤q≤0, для
схемы (3.3) - 0≤q≤1, а схема (3.4) безусловно неустойчива.
Для неявных схем условия устойчивости имеют вид: q≤0 или q≥1
(для (3.5)),      q≥0 или q≤-1 (для (3.6)), а схема (3.7)
безусловно устойчива при любом знаке скорости. Таким
образом, для устойчивости разностных схем с несимметричной
аппроксимацией пространственной производной, направление
дифференцирования должно быть согласовано со знаком числа
Куранта (т.е. с направлением скорости v). Это условие
называют правилом аппроксимации «против потока». Физически
его можно истолковать следующим образом. В случае v>0
частицы среды движутся слева направо, и разностная схема,
отражающая это обстоятельство, для построения решения в
момент времени t+τ должна использовать распределение поля u
слева от счётного узла. Поле справа от счётного узла
сместится ещё правее и на решение повлиять не может.
Следовательно,      при  v>0   следует  использовать   левую
производную, а при v>0 - правую. Схемы (3.4) и (3.7),
использующие центральную разность, нечувствительны к знаку
скорости. Для обеспечения устойчивости в задачах, где

Страницы