Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

присутствует в исходном дифференциальном уравнении, то
метод неприменим.
Как и большинство методов исследования устойчивости,
метод дифференциального приближения не имеет строгого
обоснования в случае нелинейных схем. Однако практика его
применения оказалась весьма успешной и в этом случае,
почему он и находит широкое применение. В отличие от метода
замороженных коэффициентов, метод дифференциального
приближения позволяет разложить в ряд Тейлора нелинейные
члены и учесть их влияние на устойчивость задачи.
Помимо исследования устойчивости, метод
дифференциальных приближений применим также для
исследования монотонности разностных схем и улучшения их
аппроксимации. Некоторые из этих приложений описаны ниже.
§3. Обзор модельных уравнений эволюционного
типа.
п.1. Разностные схемы для модельного уравнения переноса.
Уравнением переноса называется уравнение первого
порядка вида:
∂u/∂t+v∂u/∂x=0, (3.1)
описывающее поле u в жидкости или газе текущем со скоростью
v. Для конечно-разностной аппроксимации (3.1) обычно
используются двухслойные конечно-разностные схемы,
использующие для аппроксимации пространственной производной
(2.11)-(2.13).
Явные схемы:
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
i+1
-u
i
h
i
=0 (3.2)
(«правый уголок»)
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
i
-u
i-1
h
i
=0 (3.3)
(«левый уголок»)
u
^
i
-u
i
τ
+v
u
i+1
-u
i-1
h
i
+h
i-1
=0 (3.4)
(явная схема с центральной разностью)
Неявные схемы: 
присутствует в исходном дифференциальном уравнении, то
метод неприменим.
     Как и большинство методов исследования устойчивости,
метод дифференциального приближения не имеет строгого
обоснования в случае нелинейных схем. Однако практика его
применения оказалась весьма успешной и в этом случае,
почему он и находит широкое применение. В отличие от метода
замороженных    коэффициентов,    метод    дифференциального
приближения позволяет разложить в ряд Тейлора нелинейные
члены и учесть их влияние на устойчивость задачи.
     Помимо       исследования      устойчивости,      метод
дифференциальных     приближений    применим    также    для
исследования   монотонности разностных схем и улучшения их
аппроксимации. Некоторые из этих приложений описаны ниже.



§3. Обзор модельных уравнений эволюционного
                   типа.

п.1. Разностные схемы для модельного уравнения переноса.

     Уравнением   переноса   называется   уравнение   первого
порядка вида:

∂u/∂t+v∂u/∂x=0,                                   (3.1)

описывающее поле u в жидкости или газе текущем со скоростью
v.   Для  конечно-разностной  аппроксимации   (3.1)  обычно
используются    двухслойные    конечно-разностные    схемы,
использующие для аппроксимации пространственной производной
(2.11)-(2.13).

Явные схемы:

^
ui-ui ui+1-ui
     +v h      =0                                 (3.2)
  τ        i
(«правый уголок»)
^
ui-ui ui-ui-1
     +v h      =0                                 (3.3)
  τ        i
(«левый уголок»)
^
ui-ui ui+1-ui-1
     +v h +h     =0                               (3.4)
  τ      i   i-1
(явная схема с центральной разностью)

Неявные схемы:

Страницы