Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Последняя сумма неотрицательна при 2u
i
+u
i-1
≥0, что
заведомо выполнено при u≥0. Мы вновь пришли к правилу
«против потока».
Осталось доказать, что решение сохраняет
неотрицательность при переходе от слоя к слою. Для
этого представим (2.39) в виде qu
^
2
i
+(1-qu
^
i-1
)u
^
i
=u
i
, где
q=τ/h, откуда u
^
i
=
1
2q
[]
qu
^
i-1
-1± (qu
^
i-1
-1)
2
+qu
i
. Чтобы u
^
i
→u
i
при q→0, следует взять решение с плюсом. Тогда
u
^
i
=
qu
^
i-1
-1+ (qu
^
i-1
-1)
2
+qu
i
2q
≥
qu
^
i-1
-1+|qu
^
i-1
-1|
2q
≥0, т.к. u
i
≥0.
Таким образом, во многих случаях метод энергетических
неравенств даёт возможность проанализировать устойчивость
линейных схем с переменными коэффициентами и даже
нелинейных схем.
п.8.Исследование временной устойчивости по первому
дифференциальному приближению.
Следует отметить также исследование устойчивости
конечно-разностных схем по первому дифференциальному
приближению, развитое в работах Ю.И.Шокина
и Н.Н.Яненко
(см. например [37]). Пусть имеется линейная однородная
двуслойная конечно-разностная схема
A
1
u
^
i
=A
2
u
i
, (2.38)
где A
1
=A
1
(T) и A
2
=A
2
(T), T - оператор трансляции; Tu
i
=u
i+1
.
Оператор A
1
обратим. Схема приводится к виду u
^
i
=Bu
i
, где
B=A
-1
1
A
2
=B(T). Формально, используя операторные равенства
T=e
h
∇
и h∇=ln(T) от конечно-разностного уравнения можно
перейти к дифференциальному:
∂u
∂t
=
1
τ
ln[B(e
h
∇
)u]=
Σ
k
c
k
∇
k
u, (2.39)
которое называется Π-формой дифференциального приближения
(2.38). Из теоремы эквивалентности П.Д.Лакса следует:
Если существует предел lim
τ,h→0
Σ
k
c
k
∇
k
u=Au, где A-некоторый
дифференциальный оператор, то для сходимости решения (2.38)
к решению уравнения
∂u
∂t
=Au, (2.40)
необходима и достаточна корректность задачи Коши для
дифференциального уравнения (2.39).
Разумеется, прямая проверка корректности задачи Коши
для (2.39) обычно не представляется возможной, однако в
ряде случаев о свойствах схемы (2.38) можно судить по 
       Последняя сумма неотрицательна при 2ui+ui-1≥0, что
       заведомо выполнено при u≥0. Мы вновь пришли к правилу
       «против потока».
            Осталось      доказать,      что     решение      сохраняет
       неотрицательность при переходе от слоя к слою. Для
       этого представим (2.39) в виде qu        ^2i+(1-qu
                                                        ^ )u ^ =u , где
                                                         i-1  i  i
                           1
       q=τ/h, откуда u^=    [  ^          ^               ]
                       i 2q qui-1-1± (qui-1-1) +qui . Чтобы ui→ui
                                                   2               ^

       при q→0, следует взять решение с плюсом. Тогда
           ^ -1+ (qu
          qu         ^ -1)2+qu qu   ^ -1+|qu  ^ -1|
       ^
       ui=
            i-1       i-1        i
                                  ≥
                                     i-1       i-1
                                                      ≥0, т.к. ui≥0.
                   2q                      2q

     Таким образом, во многих случаях метод энергетических
неравенств даёт возможность проанализировать устойчивость
линейных   схем   с  переменными  коэффициентами  и   даже
нелинейных схем.


п.8.Исследование   временной               устойчивости       по   первому
дифференциальному приближению.

       Следует отметить    также исследование   устойчивости
конечно-разностных    схем    по первому   дифференциальному
приближению, развитое в работах Ю.И.Шокина и Н.Н.Яненко
(см. например [37]). Пусть имеется линейная однородная
двуслойная конечно-разностная схема
A1^
  ui=A2ui,                                        (2.38)
где A1=A1(T) и A2=A2(T), T - оператор трансляции; Tui=ui+1.
Оператор A1 обратим. Схема приводится к виду u   ^ =Bu , где
                                                  i   i
    -1
B=A1 A2=B(T). Формально, используя операторные равенства
T=eh∇ и h∇=ln(T) от конечно-разностного уравнения можно
перейти к дифференциальному:
∂u 1
∂t τ            k
                   Σ
  = ln[B(eh∇)u]= ck∇ku,                           (2.39)

которое называется Π-формой дифференциального приближения
(2.38). Из теоремы эквивалентности П.Д.Лакса следует:
Если     существует    предел    lim   Σc ∇ u=Au,
                                 τ,h→0 k
                                            k
                                                k
                                                      где      A-некоторый
дифференциальный оператор, то для сходимости решения (2.38)
к решению уравнения
∂u
  =Au,                                           (2.40)
∂t
необходима и достаточна корректность задачи Коши для
дифференциального уравнения (2.39).
     Разумеется, прямая проверка корректности задачи Коши
для (2.39) обычно не представляется возможной, однако в
ряде случаев о свойствах схемы (2.38) можно судить по

Страницы