Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

эксперимент показывает, что при α>1 или β>1 схема
неустойчива.
Метод энергетических неравенств применим для
исследования устойчивости схем с переменным оператором A
h
.
Формально, этот случай рассматривается точно также как
случай постоянного оператора A. Однако при этом
установленная выше знакоопределённость операторов Λ
2
, Λ
2
,
Λ
+
, Λ
-
вообще говоря не гарантирует знакоопределённости
операторов a
i
Λ, где a
i
≠const. Знакоопределённость a
i
Λ
необходимо устанавливать заново для каждого конкретного a
i
,
что достаточно трудоёмко и требует использования скалярного
произведения более сложного вида, чем (2.37). Тем не менее,
в отличие от спектрального метода, метод энергетических
неравенств в ряде случаев позволяет произвести выкладки
аналитически, доведя их до окончательного результата.
Пример 8.
Неявная схема «против потока» с переменной
скоростью и неравномерной сеткой.
Для определённости рассмотрим случай v>0.
u
^
i
-u
i
τ
+v
i
Λ
-
u
^
i
=0 (2.38)
Введём скалярное произведение (u’,u”)=
Σ
i
g
i
u
i
’u
i
”, где
g
i
>0 - диагональный метрический тензор. Тогда (u,vΛ
-
u)=
Σ
i
g
i
u
i
v
i
/h
i
(u
i
-u
i-1
). Выражение упрощается при
g
i
=2h
i
/v
i
>0: (u,vΛ
-
u)=2
Σ
i
u
i
(u
i
-u
i-1
)=
Σ
i
(u
i
-u
i-1
)
2
>0. Таким
образом, установлена положительность оператора v
i
Λ
-i
, а
следовательно и безусловная устойчивость (2.38).
Аналогично доказывается устойчивость схемы с правой
направленной разностью при v<0 и схемы с центральной
разностью, если только v сохраняет знак во всех узлах.
Пример 9.
Тоже, со знакопеременной скоростью. Скорость
меняет знак при переходе через m-тый узел, причём v
m
=0.
Из (2.38) следует, что u
^
m
=u
m
=const. Следовательно,
данный случай распадается на две независимые задачи:
i=0…m и i=m…N, устойчивость которых доказана выше
(пример 8).
Пример 10.
Тоже, скорость меняет знак при переходе от узла
m к узлу m+1, не обращаясь в ноль ни в одном узле.
В случае v
i
>0 при i=0…m и v
i
<0 при i=m+1…N, задача
распадается на две независимые задачи: i=0…m и
i=m+1…N, устойчивость которых доказывается аналогично
примеру 8. 
    эксперимент показывает,       что   при   α>1   или   β>1   схема
    неустойчива.

     Метод    энергетических    неравенств    применим    для
исследования устойчивости схем с переменным оператором Ah.
Формально, этот случай рассматривается точно также как
случай    постоянного   оператора   A.   Однако    при   этом
установленная выше знакоопределённость операторов Λ , Λ2,
                                                       2

Λ+, Λ- вообще говоря не гарантирует знакоопределённости
операторов   aiΛ,   где  ai≠const.  Знакоопределённость   aiΛ
необходимо устанавливать заново для каждого конкретного ai,
что достаточно трудоёмко и требует использования скалярного
произведения более сложного вида, чем (2.37). Тем не менее,
в отличие от спектрального метода, метод энергетических
неравенств в ряде случаев позволяет произвести выкладки
аналитически, доведя их до окончательного результата.

Пример 8. Неявная схема «против потока» с                 переменной
скоростью и неравномерной сеткой.
     Для определённости рассмотрим случай v>0.
     ^
     ui-ui
          +viΛ-^
               ui=0                                       (2.38)
       τ
    Введём скалярное произведение                   Σ
                                          (u’,u”)= giui’ui”, где
                                                     i
    gi>0 - диагональный метрический тензор. Тогда (u,vΛ-
       Σ
    u)= giuivi/hi(ui-ui-1).
        i
                                  Выражение       упрощается       при

    gi=2hi/vi>0:              Σ
                              i
                                              Σ
                   (u,vΛ-u)=2 ui(ui-ui-1)= (ui-ui-1)2>0.
                                              i
                                                                Таким

    образом, установлена положительность оператора viΛ-i, а
    следовательно   и   безусловная   устойчивость  (2.38).
    Аналогично доказывается устойчивость схемы с правой
    направленной разностью при v<0 и схемы с центральной
    разностью, если только v сохраняет знак во всех узлах.

Пример 9. Тоже, со знакопеременной скоростью. Скорость
меняет знак при переходе через m-тый узел, причём vm=0.
     Из (2.38) следует, что u   ^ =u =const. Следовательно,
                                 m  m
     данный случай распадается на две независимые задачи:
     i=0…m и i=m…N, устойчивость которых доказана выше
     (пример 8).
Пример 10. Тоже, скорость меняет знак при переходе от узла
m к узлу m+1, не обращаясь в ноль ни в одном узле.
     В случае vi>0 при i=0…m и vi<0 при i=m+1…N,      задача
     распадается на две независимые задачи: i=0…m и
     i=m+1…N, устойчивость которых доказывается аналогично
     примеру 8.

Страницы