Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Пример 4:
Оператор центральной разности Λ
2
: Λ
2
u
i
=(u
i+1
-u
i-1
)/2h
«нулевой». 2h(Λ
2
u,u)=
Σ
i
(u
i
u
i+1
-u
i
u
i-1
)=u
N-1
u
N
-u
1
u
0
=0.
Разумеется, это означает не то, что Λ
2
u
i
≡0, а то, что
Λ
2
u
i
ортогонально u
i
.
Пример 5:
Исследуем устойчивость явной схемы
u
i
^
-u
i
τ
+vΛ
-
u
i
=0 при
v>0. Как отмечено выше, схема условно устойчива при
τ≤min
u
2(u,Au)
(Au,Au)
=
1
v
min
u
2(u,Λ
-
u)
(Λ
-
u,Λ
-
u)
. В данном случае минимум
вычисляется просто: 2
Σ
i
u
i
(u
i
-u
i-1
)=
Σ
i
(2u
i
+u
i-1
-u
i-1
)(u
i
-u
i-
1
)=
Σ
i
(u
2
i
-u
2
i-1
)+
Σ
i
(u
i
-u
i-1
)
2
=
Σ
i
(u
i
-u
i-1
)
2
. Поэтому 2
Σ
i
u
i
(u
i
-u
i-
1
)/
Σ
i
(u
i
-u
i-1
)
2
=1, что приводит к условию устойчивости
τ≤h/v.
Как указывалось выше, исследование устойчивости
линейного конечно-разностного уравнения всегда можно свести
к исследованию устойчивости такого же однородного уравнения
с нулевыми краевыми условиями, если положить δu=u-u
част
, где
u - общее решение исходной неоднородной задачи, δu - общее
решение однородной задачи с нулевыми краевыми условиями,
u
част
- частное (стационарное или ограниченное) решение
исходной задачи. В случае краевых условий 1-го рода
получаем δu
0
=δu
N
=0, т.е. именно тот случай, для которого
справедливы приведённые выше оценки знакоопределённости
стандартных операторов. В случаях краевых условий 2-го или
3-го рода такое ограничение класса пробных функций
необосновано и означает, что мы отказываемся от
исследования временных неустойчивостей, которые могут быть
вызваны краевыми условиями. К.И.Бабенко, И.М.Гельфандом и
О.В.Локуциевским был предложен способ исследования
неустойчивостей, вызванных краевыми условиями на основе
спектрального признака (см. например [8]). Суть этого
способа состоит в дополнении к процедуре исследования
устойчивости по спектральному признаку: к стандартному
набору пробных функций e
ik
ϕ
(где ϕ вещественное) следует
добавить собственные функции краевых условий. Например, в
рассмотренном ниже примере 6 такой функцией будет β
-k
. Такой
способ довольно сложен технически и не вполне нагляден.
В тоже время, без каких-либо трудностей или новых идей
исследование устойчивости по краевым условиям может быть 
Пример 4:
     Оператор       центральной        разности        Λ2:    Λ2ui=(ui+1-ui-1)/2h
    «нулевой».                                Σ
                                2h(Λ2u,u)= (uiui+1-uiui-1)=uN-1uN-u1u0=0.
                                               i
    Разумеется, это означает не то, что Λ2ui≡0, а то, что
    Λ2ui ортогонально ui.

Пример 5:
                                         u^i-ui
    Исследуем           устойчивость       явной   схемы
                                               +vΛ-ui=0 при
                                            τ
    v>0. Как отмечено выше, схема условно устойчива при
         2(u,Au) 1    2(u,Λ-u)
    τ≤min(Au,Au)=vmin          . В данном случае минимум
       u           u (Λ-u,Λ-u)


    вычисляется           просто:      Σ                Σ
                                     2 ui(ui-ui-1)= (2ui+ui-1-ui-1)(ui-ui-
                                       i                i

    1)=Σ(u -u
          i
              2
              i
                  2
                  i-1     Σ
                          i
                                       Σ
                        )+ (ui-ui-1)2= (ui-ui-1)2.
                                       i
                                                            Поэтому     Σ
                                                                       2 ui(ui-ui-
                                                                         i

    1)/Σ(u -u
          i
              i
                      2
                  i-1) =1,     что   приводит      к   условию        устойчивости

    τ≤h/v.

     Как   указывалось    выше,   исследование     устойчивости
линейного конечно-разностного уравнения всегда можно свести
к исследованию устойчивости такого же однородного уравнения
с нулевыми краевыми условиями, если положить δu=u-uчаст, где
u - общее решение исходной неоднородной задачи, δu - общее
решение однородной задачи с нулевыми краевыми условиями,
uчаст - частное (стационарное или ограниченное) решение
исходной задачи. В случае краевых условий 1-го рода
получаем δu0=δuN=0, т.е. именно тот случай, для которого
справедливы приведённые выше оценки знакоопределённости
стандартных операторов. В случаях краевых условий 2-го или
3-го   рода   такое   ограничение    класса   пробных   функций
необосновано    и   означает,    что    мы   отказываемся    от
исследования временных неустойчивостей, которые могут быть
вызваны краевыми условиями. К.И.Бабенко, И.М.Гельфандом и
О.В.Локуциевским    был    предложен     способ    исследования
неустойчивостей, вызванных краевыми условиями на основе
спектрального признака (см. например [8]). Суть этого
способа состоит в дополнении к процедуре исследования
устойчивости по спектральному признаку: к стандартному
набору пробных функций eikϕ (где ϕ вещественное) следует
добавить собственные функции краевых условий. Например, в
рассмотренном ниже примере 6 такой функцией будет β-k. Такой
способ довольно сложен технически и не вполне нагляден.
     В тоже время, без каких-либо трудностей или новых идей
исследование устойчивости по краевым условиям может быть

Страницы