Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 18 стр.

    ____________________________________________________

В случае полностью неявной схемы множитель перехода λi
связан    с   χi   простым     соотношением   (λi-1)/τ+χiλi=0  и
1/⏐λi⏐ =⏐1+τχi⏐ =1+τ ⏐χi⏐ +2τRe(χi). Условие ⏐λi⏐≤1 при всех τ>0
      2        2    2    2

равносильно Re(χi)≥0. Тем самым видна связь энергетического
и спектрального методов исследования устойчивости.


     Несложно увидеть аналогию между скалярным квадратом
V(u)=(u,u) конечно-разностного решения (в принятой метрике
gik) и функцией Ляпунова для ОДУ:
• При u≡u - функция V(u) имеет строгий минимум. Во всех
  остальных точках V(u)>V(u -)
• V(un+1)≤V(un) - аналог dV/dt≤0.
Как и в случае ОДУ, функция Ляпунова для конечно-
разностного уравнения вовсе необязательно должна быть
квадратичной формой, важно, чтобы она была непрерывной и
выполнялись два указанные выше условия. Доказательство
устойчивости решения un при этих предположениях почти
дословно повторяет аналогичное доказательство устойчивости
решения уравнения в частных производных первого порядка
(см.    например   [38]).   Данное   обстоятельство   открывает
принципиальную      возможность    исследования    устойчивости
нелинейных конечно-разностных схем (см. ниже пример 11).
Также как и в случае ОДУ, единого рецепта нахождения
функции Ляпунова дать нельзя; это является творческой
задачей.
     В случае линейной задачи на равномерной сетке с
постоянными        коэффициентами,       большим      удобством
энергетического признака является то, что в ряде случаев он
позволяет свести исследование сложного оператора A к
простым. Так, если оператор представим в виде суммы
                M
операторов A=   ΣA ,
              k=1
                    k   причём Ak≥0 в смысле (2.37), k=1…M, то в

силу линейности скалярного произведения A≥0, что гарантирует
устойчивость неявной схемы (2.36).
     В случае оператора A с переменными коэффициентами или
на неоднородной сетке формально также возможно свести
анализ неотрицательности сложного оператора A к анализу
более   простых   операторов   Ak.   Однако   в   этом   случае
накладывается весьма обременительное ограничение: для всех
k неотрицательность Ak должна быть установлена в одном и том
же    скалярном   произведении.    При    невыполнении    этого
требования     сумма    операторов     может    не     обладать
неотрицательностью.

Пример 1