Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

На практике прямое вычисление минимума (2.35) часто
затруднительно, что снижает ценность метода.
Особенно удобен метод энергетических неравенств для
проверки безусловной устойчивости неявных схем вида
u
^
i
-u
i
τ
+A
i
u
^
i
=0. (2.36)
Т.к. (1+τA
i
)u
^
i
=u
i
, то
(u,u)=(u
^
,u
^
)+2τ(u
^
,Au
^
)+τ
2
(Au
^
,Au
^
). В случае (u
^
,Au
^
)<0, данное
выражение имеет минимум при положительном τ, равный (u
^
,u
^
) -
(u
^
,Au
^
)
2
(Au
^
,Au
^
)
<(u
^
,u
^
), откуда (u,u)<(u
^
,u
^
) и схема может проявлять
неустойчивость. В случае же (u
^
,Au
^
)≥0, всегда (u,u)≥(u
^
,u
^
), и
схема безусловно устойчива. Таким образом, для безусловной
устойчивости неявной схемы достаточна нестрогая
положительная определённость оператора A.
Аналогичный признак справедлив и для дифференциального
уравнения. В самом деле, для произвольного решения
уравнения
∂u/∂t+Au=0 справедливо равенство
∂(u,u)/∂t=2(u,∂u/∂t)=-2(u,Au). Достаточным условием
устойчивости решения является ∂(u,u)/∂t≤0, что равносильно
(u,Au)≥0.
Таким образом, энергетический метод устанавливает
наглядную связь между временной устойчивостью и свойствами
оператора A (A≥0) как для конечно-разностной, так и для
дифференциальной задачи Коши.
Неотрицательность оператора A тесно связано с его
спектральными свойствами. Несложно доказать, что для
вещественного оператора простой структуры (обладающего
полным набором собственных функций e
i
, вообще говоря
комплексных, с комплексными собственными значениями χ
i
), его
неотрицательность эквивалентна неотрицательности Re(χ
i
).
____________________________________________________
Пусть Re(χ
i
)≥0. Определим скалярное произведение
вещественных функций по формуле (u,v)=Re
Σ
k
u
k
v
k
*
, где u=
Σ
k
u
k
e
k
, v=
Σ
k
v
k
e
k
. Легко проверить, что все аксиомы
скалярного произведения при этом выполнены. В смысле
такого скалярного произведения оператор A оказывается
неотрицательным для вещественных пробных функций. В
самом деле, Au=
Σ
k
Au
k
e
k
=
Σ
k
u
k
χ
k
e
k
. Тогда (u,Au)=Re
Σ
k
u
k
u
k
*
χ
k
*
=
Σ
k
⏐u
k
⏐
2
Re(χ
k
)≥0, т.е. A≥0.
____________________________________________________ 
На практике прямое вычисление минимума (2.35) часто
затруднительно, что снижает ценность метода.
      Особенно удобен метод энергетических неравенств для
проверки безусловной устойчивости неявных схем вида
^
ui-ui
     +Ai^ui=0.                                            (2.36)
   τ
Т.к. (1+τAi)u ^ =u , то
               i  i
         ^ ^      ^
(u,u)=(u,u)+2τ(u,Au   ^)+τ2(Au
                             ^,Au
                                ^). В случае (u     ^,Au
                                                       ^)<0, данное
выражение имеет минимум при положительном τ, равный (u        ^,u^) -
(u^,Au
     ^)2
           ^,u
         <(u ^), откуда (u,u)<(u    ^,u
                                      ^) и схема может проявлять
   ^  ^
(Au,Au)
неустойчивость. В случае же (u     ^,Au^)≥0, всегда (u,u)≥(u ^,u
                                                               ^), и
схема безусловно устойчива. Таким образом, для безусловной
устойчивости        неявной      схемы      достаточна     нестрогая
положительная определённость оператора A.
      Аналогичный признак справедлив и для дифференциального
уравнения.      В   самом    деле,    для    произвольного   решения
уравнения           ∂u/∂t+Au=0         справедливо         равенство
∂(u,u)/∂t=2(u,∂u/∂t)=-2(u,Au).            Достаточным       условием
устойчивости решения является ∂(u,u)/∂t≤0, что равносильно
(u,Au)≥0.
      Таким    образом,     энергетический     метод   устанавливает
наглядную связь между временной устойчивостью и свойствами
оператора A (A≥0) как для конечно-разностной, так и для
дифференциальной задачи Коши.
      Неотрицательность оператора A тесно связано с его
спектральными      свойствами.     Несложно    доказать,   что    для
вещественного оператора простой структуры (обладающего
полным набором собственных функций ei, вообще говоря
комплексных, с комплексными собственными значениями χi), его
неотрицательность эквивалентна неотрицательности Re(χi).
      ____________________________________________________
      Пусть    Re(χi)≥0.     Определим     скалярное    произведение
                                                   Σ
     вещественных функций по формуле (u,v)=Re ukvk*, где u=
                                                      k
                                                                     Σ k

     ukek,        Σ
             v= vkek.
                  k
                         Легко   проверить,     что       все   аксиомы
     скалярного произведения при этом выполнены. В смысле
     такого скалярного произведения оператор A оказывается
     неотрицательным для вещественных пробных функций. В
     самом    деле,        Σ
                           k
                                   Σ
                        Au= Aukek= ukχkek.
                                   k
                                               Тогда       (u,Au)=Re Σ k


             Σ
     ukuk*χk*= ⏐uk⏐2Re(χk)≥0, т.е. A≥0.
              k
     ____________________________________________________

Страницы