Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

A
h
u
n
j
=(u
n+1
j
-u
n
j
)/τ+D(u
n
j+1
+u
n
j-1
-2u
n
j
)/h
2
Подставляя Фурье-гармонику λ
n
e
ikx
получим
(λ-1)/τ+4Dsin
2
(kh/2)/h
2
=0, откуда λ=1-4Dτsin
2
(kh/2)/h
2
⎜λ⎜≤1 при Dτ/h
2
<1/2.
б)Неявная схема.
A
h
u
n
j
=(u
n+1
j
-u
n
j
)/τ+D(u
n+1
j+1
+u
n+1
j-1
-2u
n+1
j
)/h
2
(λ-1)/τ+4λDsin
2
(kh/2)/h
2
=0, λ=1/(1+4Dτsin
2
(kh/2)/h
2
).
Очевидно, неявная схема безусловно устойчива.
Рассмотрим уравнение (2.3), в котором разностный
оператор A меняется от узла к узлу. Такой случай
реализуется, если (2.1) представляет собой уравнение с
переменными коэффициентами. Предположим, однако, что в
пределах 3-5 соседних узлов коэффициенты оператора A
меняются слабо и их можно считать постоянными. В этом
случае действуя также, как и в
случае схемы с постоянными
коэффициентами, можно получить выражение для множителя
перехода ⎜λ
k
(x
j
)⎜, соответствующего Фурье-компоненте e
ikx
который, однако, будет переменным от узла к узлу. Схема
считается устойчивой в смысле замороженных коэффициентов,
если ⎜λ
k
(x
j
)⎜≤1 при всех 0<j<n. Таким образом, исследование
устойчивости разностного метода с переменными
коэффициентами оказывается не сложнее, чем с постоянными.
Данный метод не является вполне корректным математически, и
результаты, даваемые им, следует рассматривать как
ориентировочные.
Практика применения метода «замороженных коэффициентов»
оказалась весьма успешной, и в настоящее время он является
общепринятым. Так, опыт
показывает, что:
а)Схемы неустойчивые в смысле «замороженных коэффициентов»,
заведомо неустойчивы и для расчётов непригодны.
Переменность коэффициентов, негладкость решения и прочие
подобные факторы только ухудшают устойчивость.
б)Схемы устойчивые в смысле «замороженных коэффициентов»,
как правило, устойчивы и в обычном смысле. Однако,
построены примеры схем, не удовлетворяющих этому правилу
(см. [9]). Характерной
чертой этих примеров является
резкая переменность или разрывность коэффициентов
уравнения.
п.7.Энергетический метод исследования временной
устойчивости.
Существует также важный и удобный на практике метод
исследования временной устойчивости с помощью
«энергетических неравенств» или «энергетический метод». Как
и спектральный метод, он имеет давнюю историю, встречаясь 
       n   n+1 n       n    n     n
    Ahuj=(uj -uj)/τ+D(uj+1+uj-1-2uj)/h2
    Подставляя Фурье-гармонику λneikx получим
    (λ-1)/τ+4Dsin2(kh/2)/h2=0, откуда λ=1-4Dτsin2(kh/2)/h2
    ⎜λ⎜≤1 при Dτ/h2<1/2.

    б)Неявная схема.
       n   n+1 n        n+1 n+1   n+1
    Ahuj=(uj -uj)/τ+D(uj+1+uj-1-2uj )/h2
    (λ-1)/τ+4λDsin2(kh/2)/h2=0,    λ=1/(1+4Dτsin2(kh/2)/h2).
    Очевидно, неявная схема безусловно устойчива.

     Рассмотрим уравнение (2.3), в котором разностный
оператор A меняется от узла к узлу. Такой случай
реализуется, если (2.1) представляет собой уравнение с
переменными коэффициентами. Предположим, однако, что в
пределах 3-5 соседних узлов коэффициенты оператора A
меняются слабо и их можно считать постоянными. В этом
случае действуя также, как и в случае схемы с постоянными
коэффициентами, можно получить выражение для множителя
перехода ⎜λk(xj)⎜, соответствующего Фурье-компоненте eikx
который, однако, будет переменным от узла к узлу. Схема
считается устойчивой в смысле замороженных коэффициентов,
если ⎜λk(xj)⎜≤1 при всех 0

Страницы