Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 15 стр.

ещё в работе Куранта, Фридрихса и Леви. Излагаемая ниже
форма энергетического метода следует, в основном, работам
А.А.Самарского.
     Пусть для вещественных сеточных функций u введено
скалярное произведение. Тогда для устойчивости конечно-
разностной       схемы     достаточно,    чтобы   при    произвольной
сеточной     функции       u,   удовлетворяющей     нулевым   краевым
условиям ⎢⎟u⎢⎟≥⎢⎟^
                 u⎢⎟ или
       ^ ^
(u,u)≥(u,u).                                               (2.32)
                                          (Tu,Tu)
Иначе говоря, ⎢⎟T⎢⎟≤1 в норме ⎢⎟T⎢⎟2≡max (u,u) .
                                       u
В некоторых простейших случаях скалярный квадрат решения
можно интерпретировать как энергию системы, описываемой
уравнением – отсюда и название метода.
     Нарушение (2.32) ещё не говорит о неустойчивости.
Возможны ситуации, когда квадрат решения (u,u) растёт в
течении одного или нескольких шагов, после чего начинает
убывать, либо ведёт себя немонотонно от итерации к
итерации,       либо      возрастает,     оставаясь     ограниченным.
Невыполнение         (2.32)    в    каком-либо     одном    скалярном
произведении не означает, что оно не может быть выполнено в
другом. Следует попытаться найти скалярное произведение,
отвечающее особенностям данной конечно-разностной задачи в
котором    выполняется        (2.32).    Проверить    все   скалярные
произведения невозможно, но если подходящего скалярного
произведения подобрать не удалось, это не означает, что его
не существует. Поэтому энергетический метод даёт только
достаточные, но не необходимые условия устойчивости. На
практике (см. все примеры ниже) условия устойчивости,
полученные по энергетическому методу обычно являются и
необходимыми.
     Подбор скалярного произведения сводится к нахождению
строго положительно определённого метрического тензора gik
(матрицы   Грама):    (u,v)=   Σg
                             i,k
                                   ikuivk   (или   доказательству   его
существования). Как правило, тензор gik можно искать в
диагональной        форме,        что     является      счастливым
обстоятельством. Для конечно-разностных схем с постоянными
коэффициентами      обычно      бывает    достаточно    скалярного
произведения простейшего вида (2.37).
      Если    исследуется    на    устойчивость   линейная   явная
двухслойная конечно-разностная схема
^
ui-ui
      +Aui=0,                                           (2.33)
  τ
то    (1-τA1)ui=u^   и    ^,u
                         (u  ^)=(u,u)-2τ(u,Au)+τ2(Au,Au).    Схема
                  i
                            2
устойчива при -2τ(u,Au)+τ (Au,Au)≤0, что возможно при
(u,Au)>0                                                (2.34)
(оператор строго положителен) и (условие Куранта)
      2(u,Au)
τ≤min(Au,Au).                                           (2.35)
    u