ВУЗ:
Составители:
В случае отсутствия полной системы собственных векторов,
условия Re(χ
k
)≥0 оказывается недостаточным для
неотрицательности оператора A. Для собственных значений A,
отвечающим серии Жордана, следует потребовать Re(χ
k
)>0. Для
собственных значений, не соответствующих ни одной
жордановой серии по-прежнему достаточно выполнения условия
Re(χ
k
)≥0. Докажем, что при этих условиях A≥0.
____________________________________________________
Определим скалярное произведение в виде (u,v)=Re
Σ
k
Σ
q
k
α
kq
k
u
kq
k
v
*
kq
k
, где первая сумма берётся по всем собственным
векторам e
k0
, а вторая - по жордановой серии,
порождаемой собственным вектором e
k0
. Если собственному
вектору e
k0
не соответствует присоединённых векторов, то
полагаем α
k0
=1. В противном случае α
kq
=ε
2q
k
, где
ε
k
=1/Re(χ
k
)>0. Легко проверить, что все аксиомы
скалярного произведения при этом выполнены. Тогда
Au=
Σ
k
Σ
m
k
q=0
Au
kq
e
kq
=
Σ
k
χ
k
Σ
m
k
q=0
u
kq
e
kq
+
Σ
k
Σ
m
k
q=1
u
kq
e
kq-1
и
(u,Au)=Re
Σ
k
χ
k
Σ
m
k
q=0
α
kq
⏐u
kq
⏐
2
+Re
Σ
k
Σ
m
k
-1
q=0
α
kq
u
kq
u
*
kq+1
.
Если m
k
>0 (имеются присоединённые вектора), то
Reχ
k
Σ
m
k
q=0
α
kq
⏐u
kq
⏐
2
+Re
Σ
m
k
-1
q=0
α
kq
u
kq
u
*
kq+1
=
=
1
ε
k
Σ
m
k
q=0
ε
2q
k
⏐u
kq
⏐
2
+
Σ
m
k
-1
q=0
ε
2q
k
Re(u
kq
u
*
kq+1
)≥
≥
Σ
m
k
q=0
ε
2q-1
k
⏐u
kq
⏐
2
-
Σ
m
k
-1
q=0
ε
2q
k
⏐u
kq
⏐⏐u
kq+1
⏐≥
≥
Σ
m
k
q=0
ε
2q-1
k
⏐u
kq
⏐
2
-
Σ
m
k
-1
q=0
ε
2q
k
⎝
⎜
⎛
⎠
⎟
⎞
⏐u
kq
⏐
2
2ε
k
+
ε
k
⏐u
kq+1
⏐
2
2
=
1
2ε
k
(ε
2m
k
k
⏐u
km
k
⏐
2
+⏐u
k0
⏐
2
)≥0, откуда (u,Au)≥0.
____________________________________________________
Обратно, пусть оператор A неотрицателен для
вещественных функций. В силу вещественности A, для
каждой собственной функции e
k
функция e
k
*
также будет
собственной с собственным значением χ
k
*
: 0=(Ae
k
-
χ
k
e
k
)
*
=Ae
k
*
-χ
k
*
e
k
*
. Для каждой пары комплексно-сопряжённых
собственных функций e
k
и e
k
*
можно построить две
вещественные функции u
k
=e
k
*
+e
k
и v
k
=i(e
k
-e
k
*
). Тогда
0≤(u
k
,Au
k
)+(v
k
,Av
k
)= =(u
k
,χ
k
*
e
k
*
+χ
k
e
k
)+(v
k
,iχ
k
e
k
-
iχ
k
*
e
k
*
)=(u
k
,u
k
*Re(χ
k
)+v
k
*Im(χ
k
))+ +(v
k
,v
k
*Re(χ
k
)-
u
k
*Im(χ
k
))=(u
2
k
+v
2
k
)*Re(χ
k
). Это означает, что для любого k
Re(χ
k
)≥0.
В случае отсутствия полной системы собственных векторов,
условия Re(χk)≥0 оказывается недостаточным для
неотрицательности оператора A. Для собственных значений A,
отвечающим серии Жордана, следует потребовать Re(χk)>0. Для
собственных значений, не соответствующих ни одной
жордановой серии по-прежнему достаточно выполнения условия
Re(χk)≥0. Докажем, что при этих условиях A≥0.
____________________________________________________
Определим скалярное произведение в виде (u,v)=Re ΣΣ
kq
α
k
kqk
ukqkv*kqk, где первая сумма берётся по всем собственным
векторам ek0, а вторая - по жордановой серии,
порождаемой собственным вектором ek0. Если собственному
вектору ek0 не соответствует присоединённых векторов, то
2q
полагаем αk0=1. В противном случае αkq=εk , где
εk=1/Re(χk)>0. Легко проверить, что все аксиомы
скалярного произведения при этом выполнены. Тогда
mk mk mk
Au= ΣqΣ
k =0
Aukqekq= χk Σ qΣ
k =0
ΣqΣ u
ukqekq+
k =1
kqekq-1 и
mk mk-1
(u,Au)=Re χk Σ qΣ α
k =0
kq⏐ukq⏐
2
+Re Σ qΣ α
k =0
*
kqukqukq+1.
Если mk>0 (имеются присоединённые вектора), то
mk mk-1
Reχk Σα
q =0
kq⏐ukq⏐
2
+Re Σα
q =0
*
kqukqukq+1=
mk mk-1
1
=
εkq=0 Σ
2q
q=0
2q *
εk ⏐ukq⏐2+ εk Re(ukqukq+1)≥ Σ
mk mk-1
≥ Σε
q
=0
2q-1
k ⏐ukq⏐ - 2
Σε
q =0
2q
k ⏐ukq⏐⏐ukq+1⏐≥
mk mk-1
2q⎛ ⏐ukq⏐2 εk⏐ukq+1⏐2⎞
≥ Σ
q=0
2q-1
εk ⏐ukq⏐2- Σ
q=0
εk ⎜
⎝ 2εk
+ 2 ⎟=
⎠
1 2m
(εk ⏐ukmk⏐2+⏐uk0⏐2)≥0, откуда (u,Au)≥0.
k
2εk
____________________________________________________
Обратно, пусть оператор A неотрицателен для
вещественных функций. В силу вещественности A, для
каждой собственной функции ek функция ek* также будет
собственной с собственным значением χk*: 0=(Aek-
χkek) =Aek -χk ek . Для каждой пары комплексно-сопряжённых
* * * *
собственных функций ek и ek* можно построить две
вещественные функции uk=ek*+ek и vk=i(ek-ek*). Тогда
0≤(uk,Auk)+(vk,Avk)= =(uk,χk*ek*+χkek)+(vk,iχkek-
iχk*ek*)=(uk,uk*Re(χk)+vk*Im(χk))+ +(vk,vk*Re(χk)-
2 2
uk*Im(χk))=(uk+vk)*Re(χk). Это означает, что для любого k
Re(χk)≥0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- …
- следующая ›
- последняя »
