Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим операторы в виде квадратных матриц 2х2. Пусть
A
1
=
⎝
⎛
⎠
⎞
16
01
, A
2
=
⎝
⎛
⎠
⎞
1-3
31
. Их собственные числа равны χ
11
=χ
12
=1,
χ
21
=1+3i, χ
22
=1-3i. Во всех случаях Re(χ)>0 и оба
оператора строго положительны. Однако их сумма A
1
+A
2
=
⎝
⎛
⎠
⎞
23
32
имеет собственные числа χ
1
=5, χ
2
=-1 и не является
неотрицательной.
Неотрицательность в едином скалярном произведении можно
гарантировать в случае попарно коммутативных
неотрицательных (по отдельности) операторов. В этом случае
операторы имеют общую систему собственных векторов и единое
скалярное произведение можно определить как (u,v)=Re
Σ
k
u
k
v
k
*
,
где u
k
и v
k
- коэффициенты разложения u и v соответственно
по собственным векторам {e
k
} (см. §2 п.7). Однако можно
показать, что требование неотрицательности операторов в
едином скалярном произведении слабее требования их
коммутативности.
Впрочем, даже если подобрать общее скалярное
произведение не удаётся, анализ операторов A
k
по отдельности
может оказаться весьма полезным для понимания качественного
поведения сложной конечно-разностной схемы с оператором A.
Мы установим знакоопределённость некоторых наиболее
употребительных конечно-разностных операторов в смысле
скалярного произведения
(u,v)=
Σ
N
i=0
u
i
v
i
(2.37)
в классе сеточных функций u: u
0
=u
N
=0.
Пример 2:
Докажем строгую отрицательную определённость оператора
правой направленной разности Λ
+
: Λ
+
u
i
=(u
i+1
-u
i
)/h.
2h(Λ
+
u,u)=2
Σ
N-1
i=0
u
i
(u
i+1
-u
i
)=
Σ
N-1
i=0
(u
i
+u
i+1
+u
i
-u
i+1
)(u
i+1
-u
i
)=-
Σ
N-1
i=0
(u
i+1
-
u
i
)
2
-
Σ
N-1
i=0
u
2
i
+
Σ
N-1
i=0
u
2
i+1
=u
2
N
-u
2
0
-
Σ
N-1
i=0
(u
i+1
-u
i
)
2
=-
Σ
N-1
i=0
(u
i+1
-u
i
)
2
<0,
поскольку равенство может достигаться только при
u≡const, а в силу u
0
=u
N
=0 это означало бы, что u≡0.
Аналогично доказывается строгая положительная
определённость оператора Λ
-
: Λ
-
u
i
=(u
i
-u
i-1
)/h.
Пример 3:
Оператор Λ
2
: Λ
2
u=(u
i+1
-2u
i
+u
i-1
)/h
2
строго отрицательно
определён. (Λ
2
u,u)=[(Λ
+
u,u)-(Λ
-
u,u)]/h<0, т.к. первое
скалярное произведение отрицательно, а второе -
положительно. 
  Рассмотрим операторы в виде квадратных матриц 2х2. Пусть
       16         1-3
  A1=⎛⎝01⎞⎠, A2=⎛⎝3 1⎞⎠. Их собственные числа равны χ11=χ12=1,
  χ21=1+3i, χ22=1-3i. Во всех случаях Re(χ)>0 и оба
                                                           23
  оператора строго положительны. Однако их сумма A1+A2=⎛⎝32⎞⎠
  имеет собственные числа χ1=5, χ2=-1 и не является
  неотрицательной.

     Неотрицательность в едином скалярном произведении можно
гарантировать     в     случае     попарно     коммутативных
неотрицательных (по отдельности) операторов. В этом случае
операторы имеют общую систему собственных векторов и единое
скалярное произведение можно определить как (u,v)=Re ukvk*,                                Σk
где uk и vk - коэффициенты разложения u и v соответственно
по собственным векторам {ek} (см. §2 п.7). Однако можно
показать, что требование неотрицательности операторов в
едином   скалярном   произведении   слабее   требования   их
коммутативности.
     Впрочем,   даже    если  подобрать    общее   скалярное
произведение не удаётся, анализ операторов Ak по отдельности
может оказаться весьма полезным для понимания качественного
поведения сложной конечно-разностной схемы с оператором A.
     Мы установим знакоопределённость некоторых наиболее
употребительных конечно-разностных операторов в смысле
скалярного произведения
         N
(u,v)=
      i=0
         Σu v i i                                                                       (2.37)
в классе сеточных функций u: u0=uN=0.

Пример 2:
     Докажем строгую отрицательную определённость оператора
     правой   направленной  разности   Λ+:  Λ+ui=(ui+1-ui)/h.
                              N-1                    N-1                                   N-1
    2h(Λ+u,u)=2               Σ
                              i=0
                                    ui(ui+1-ui)=     Σ
                                                     i=0
                                                           (ui+ui+1+ui-ui+1)(ui+1-ui)=-    Σ (u
                                                                                           i=0
                                                                                                 i+1-

              N-1       N-1                    N-1                  N-1
    ui) - 2
              Σu +Σu
              i=0
                    2
                    i
                        i=0
                               2
                               i+1
                                       2   2
                                     =u -u -
                                       N   0   Σ (u
                                               i=0
                                                      i+1-ui)
                                                                2
                                                                =-   Σ (u
                                                                    i=0
                                                                                 2
                                                                          i+1-ui) <0,

    поскольку равенство может достигаться только                                                 при
    u≡const, а в силу u0=uN=0 это означало бы, что u≡0.

Аналогично      доказывается       строгая                                        положительная
определённость оператора Λ-: Λ-ui=(ui-ui-1)/h.

Пример 3:
     Оператор Λ2: Λ2u=(ui+1-2ui+ui-1)/h2 строго отрицательно
     определён. (Λ2u,u)=[(Λ+u,u)-(Λ-u,u)]/h<0, т.к. первое
     скалярное   произведение  отрицательно,   а  второе   -
     положительно.

Страницы