ВУЗ:
Составители:
проведено методом энергетических неравенств. Мы рассмотрим
два примера таких исследований.
Пример_6:
Исследуем устойчивость неявной схемы
u
^
i
-u
i
τ
+vΛ
-
u
^
i
=0 с левым
краевым условием 3-го рода u
0
-βu
1
=0.
Выберем скалярное произведение вида (u,v)=u
0
v
0
+g
1
u
1
v
1
+
Σ
N
i=2
u
i
v
i
, g
1
>0. Обычным образом получаем 2h(u,Λ
-
u)=
2g
1
u
1
(u
1
-u
0
)+u
2
N
-u
2
1
+
Σ
N-1
i=1
(u
i+1
-u
i
)
2
=u
2
1
[2g
1
(1-β)-1]+u
2
N
+
Σ
N-1
i=1
(u
i+1
-
u
i
)
2
. Данное выражение неотрицательно при 2g
1
(1-β)-1≥0,
что может быть достигнуто выбором g
1
при 1-β>0. Таким
образом, схема устойчива при β<1. В обратном случае
вопрос остаётся открытым. Численный эксперимент
подтверждает наличие неустойчивости при β≥1.
В общем случае исследование может быть проведено
аналогично: пользуясь краевыми условиями, из квадратичной
формы (u,Au) исключаются несколько первых или последних
слагаемых и расписываются условия её неотрицательности. Как
и в примере 6,
для схемы с p левыми и q правыми краевыми
условиями, следует подбирать g
0
…g
p
и g
N-q
…g
N
.
Пример_7:
Исследуем устойчивость неявной схемы
u
^
i
-u
i
τ
-DΛ
2
u
^
i
=0 с краевыми
условиями u
0
-αu
1
=0 и u
N
-βu
N-1
=0.
Выберем скалярное произведение вида (u,v)=u
0
v
0
+g
1
u
1
v
1
+
+
Σ
N-2
i=2
u
i
v
i
+g
N-1
u
N-1
v
N-1
+u
N
v
N
, g
1
>0, g
N-1
>0. Тогда -2h
2
(u,Λ
2
u)=
=2g
1
u
1
(2u
1
-u
0
-u
2
)+u
2
N-2
-u
2
1
+(u
2
-u
1
)
2
+
Σ
N-2
i=3
(u
i
-u
i-1
)
2
+
+2g
N-1
u
N-1
(2u
N-1
-u
N
-u
N-2
)+u
2
2
-u
2
N-1
+(u
N-1
-u
N-2
)
2
+
Σ
N-3
i=2
(u
i+1
-u
i
)
2
=
2g
1
(2-α)u
2
1
-2(g
1
+1)u
1
u
2
+2u
2
2
+2g
N-1
(2-β)u
2
N-1
-2(g
N-1
+1)u
N-1
u
N-2
+
+2u
2
N-2
+2
Σ
N-3
i=2
(u
i+1
-u
i
)
2
. Для неотрицательности этого
выражения требуется g
1
(2-α)u
2
1
-(g
1
+1)u
1
u
2
+u
2
2
≥0, g
N-1
(2-
β)u
2
N-1
-(g
N-1
+1)u
N-1
u
N-2
+u
2
N-2
≥0, что требует
неположительности дискриминантов: g
2
1
-2g
1
(3-2α)+1≤0, g
2
N-1
-
2g
N-1
(3-2β)+1≤0. Последние условия возможны при
неотрицательности дискриминантов и неотрицательности
корней (3-2α)
2
≥1, 3-2α≥0 и (3-2β)
2
≥1, 3-2β≥0, откуда β≤1
и α≤1. Итак, при β≤1 и α≤1 схема безусловно устойчива.
В обратном случае вопрос остаётся открытым. Численный
проведено методом энергетических неравенств. Мы рассмотрим
два примера таких исследований.
Пример_6:
^
ui-ui
Исследуем устойчивость неявной схемы +vΛ-^
ui=0 с левым
τ
краевым условием 3-го рода u0-βu1=0.
Выберем скалярное произведение вида (u,v)=u0v0+g1u1v1+
N
Σu v ,
i=2
i i g1>0. Обычным образом получаем 2h(u,Λ-u)=
N-1 N-1
2g1u1(u1-u0)+u -u +
2
N
2
1 Σ (u
i=1
i+1-ui)
2 2
=u [2g1(1-β)-1]+u +
1
2
N Σ (u
i=1
i+1-
ui)2. Данное выражение неотрицательно при 2g1(1-β)-1≥0,
что может быть достигнуто выбором g1 при 1-β>0. Таким
образом, схема устойчива при β<1. В обратном случае
вопрос остаётся открытым. Численный эксперимент
подтверждает наличие неустойчивости при β≥1.
В общем случае исследование может быть проведено
аналогично: пользуясь краевыми условиями, из квадратичной
формы (u,Au) исключаются несколько первых или последних
слагаемых и расписываются условия её неотрицательности. Как
и в примере 6, для схемы с p левыми и q правыми краевыми
условиями, следует подбирать g0…gp и gN-q…gN.
Пример_7:
^
ui-ui
Исследуем устойчивость неявной схемы -DΛ2^
ui=0 с краевыми
τ
условиями u0-αu1=0 и uN-βuN-1=0.
Выберем скалярное произведение вида (u,v)=u0v0+g1u1v1+
N-2
+
i=2
Σ u v +g
i i N-1uN-1vN-1+uNvN, g1>0, gN-1>0. Тогда -2h2(u,Λ2u)=
N-2
=2g1u1(2u1-u0-u2)+u
2
N-2
2
-u +(u2-u1) +
1
2
Σ (u -u
i=3
i
2
i-1) +
N-3
+2gN-1uN-1(2uN-1-uN-uN-2)+u -u
2
2
2
N-1 +(uN-1-uN-2) + 2
Σ (u
i=2
2
i+1-ui) =
2 2 2
2g1(2-α)u -2(g1+1)u1u2+2u +2gN-1(2-β)u
1 2 N-1 -2(gN-1+1)uN-1uN-2+
N-3
2
+2uN-2+2 Σ (u
i=2
2
i+1-ui) . Для неотрицательности этого
2 2
выражения требуется g1(2-α)u1-(g1+1)u1u2+u2≥0, gN-1(2-
2 2
β)uN-1-(gN-1+1)uN-1uN-2+uN-2≥0, что требует
2 2
неположительности дискриминантов: g1-2g1(3-2α)+1≤0, gN-1-
2gN-1(3-2β)+1≤0. Последние условия возможны при
неотрицательности дискриминантов и неотрицательности
корней (3-2α)2≥1, 3-2α≥0 и (3-2β)2≥1, 3-2β≥0, откуда β≤1
и α≤1. Итак, при β≤1 и α≤1 схема безусловно устойчива.
В обратном случае вопрос остаётся открытым. Численный
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
