ВУЗ:
Составители:
Если же v
i
<0 при i=0…m и v
i
>0 при i=m+1…N, то из
(2.38) получим, что v
m+1
u
^
m
-v
m
u
^
m+1
=v
m+1
u
m
-v
m
u
m+1
=C=const.
Разностная задача распадается на две независимые: при
i=0…m+1 и i=m…N с одинаковыми краевыми условиями
v
m+1
u
m
-v
m
u
m+1
=C. Устойчивость этих задач может быть
проанализирована аналогично примеру 6. Для
определённости рассмотрим i≤m+1, как обычно переходя к
однородному краевому условию v
m+1
u
m
=v
m
u
m+1
. При этом
(u,vΛu)=
Σ
i<=m
g
i
v
i
/h
i
u
i
(u
i+1
-u
i
). Полагая g
i
=-2h
i
/v
i
>0 при i<m
и учитывая, что v
m
u
m+1
=v
m+1
u
m
, получим (u,vΛu)=
Σ
i<m
(u
i+1
-
u
i
)
2
+u
2
0
-u
2
m
+g
m
u
2
m
(v
m+1
-v
m
)/h
m
. Для неотрицательности
последнего выражения достаточно положить g
m
=h
m
/(v
m+1
-
v
m
)>0.
В обеих случаях разностная схема безусловно
устойчива.
В рассмотренных примерах метрический тензор g
ik
находился довольно просто. В более сложных случаях не
требуется явного нахождения метрического тензора,
достаточно лишь составить для него возвратное уравнение
(см. §8, п.3, пример 4). Данное обстоятельство выгодно
отличает метод энергетических неравенств от спектрального
метода, который требует явного нахождения собственных
функций оператора (такая задача даже для простых переменных
операторов обычно неразрешима аналитически
). Однако
возможности энергетического метода ещё шире; как
отмечалось, он даёт принципиальную возможность
анализировать устойчивость нелинейных схем.
Пример 11.
Неявная схема с направленной разностью для
квазилинейного уравнения переноса:
u
^
i
-u
i
τ
+u
^
i
Λ
-
u
^
i
=0 (2.39)
Для устойчивости (2.39) требуется установить
неотрицательность оператора Q: Q
i
u
i
=u
i
Λ
-
u
i
в каком-нибудь
скалярном произведении (u,v)=
Σ
i
g
i
u
i
v
i
, где g
i
>0 i=0…N.
(u,Qu)=
Σ
i
g
i
/h
i
[u
2
i
(u
i
-u
i-1
)] Положим g
i
=3h
i
. Тогда
Σ
i
g
i
/h
i
[u
2
i
(u
i
-u
i-1
)]=
Σ
i
3u
2
i
(u
i
-u
i-1
)=
Σ
i
[(2u
i
+u
i-1
)(u
i+1
-u
i
)
2
+ +u
3
i
-u
3
i-1
]=u
3
N
-
u
3
0
+
Σ
i
(2u
i
+u
i-1
)(u
i
-u
i-1
)
2
.
Если же vi<0 при i=0…m и vi>0 при i=m+1…N, то из
(2.38) получим, что vm+1^
um-vm^
um+1=vm+1um-vmum+1=C=const.
Разностная задача распадается на две независимые: при
i=0…m+1 и i=m…N с одинаковыми краевыми условиями
vm+1um-vmum+1=C. Устойчивость этих задач может быть
проанализирована аналогично примеру 6. Для
определённости рассмотрим i≤m+1, как обычно переходя к
однородному краевому условию vm+1um=vmum+1. При этом
(u,vΛu)= Σ g v /h u (u
i<=m
i i i i i+1-ui). Полагая gi=-2hi/vi>0 при i0.
В обеих случаях разностная схема безусловно
устойчива.
В рассмотренных примерах метрический тензор gik
находился довольно просто. В более сложных случаях не
требуется явного нахождения метрического тензора,
достаточно лишь составить для него возвратное уравнение
(см. §8, п.3, пример 4). Данное обстоятельство выгодно
отличает метод энергетических неравенств от спектрального
метода, который требует явного нахождения собственных
функций оператора (такая задача даже для простых переменных
операторов обычно неразрешима аналитически). Однако
возможности энергетического метода ещё шире; как
отмечалось, он даёт принципиальную возможность
анализировать устойчивость нелинейных схем.
Пример 11. Неявная схема с направленной разностью для
квазилинейного уравнения переноса:
^
ui-ui ^ ^
+uiΛ-ui=0 (2.39)
τ
Для устойчивости (2.39) требуется установить
неотрицательность оператора Q: Qiui=uiΛ-ui в каком-нибудь
скалярном произведении (u,v)= giuivi, где gi>0 i=0…N. Σ
i
Σ
i
2
(u,Qu)= gi/hi[ui(ui-ui-1)] Положим gi=3hi. Тогда Σg /h [u
i
i i
2
i
Σ 2
Σ
(ui-ui-1)]= 3u (ui-ui-1)= [(2ui+ui-1)(ui+1-ui)2+ +u -ui-1]=uN-
i
i
i
3
i
3 3
3
Σ
u + (2ui+ui-1)(ui-ui-1)2.
0
i
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
