Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 25 стр.

задаче (2.39), в которой удержано лишь несколько первых
членов ряда. В работах Ю.И.Шокина, Н.Н.Яненко и ряда других
авторов наиболее подробно разработан вопрос об исследовании
таким методом устойчивости уравнений гиперболлического
типа. В [37] показано, что определённый знак первого
ненулевого коэффициента при чётной производной в (2.39)
является необходимым, а для уравнений гиперболлического
типа во многих случаях и достаточным условием устойчивости:
c2k(-1)k+1>0                                           (2.41)
Пример_1:
Исследуем устойчивость явной схемы левый уголок для
уравнения переноса.
     Получаем дифференциальное приближение
     ∂u 1                  1          h2∇2             1 h2∇2
        = ln[1-q(1-e-h∇)]u= ln[1-qh∇+q 2 +…]u=-v∇u+ (q 2 -
     ∂t τ                  τ                           τ
     qh∇
      2 2 2
                   ∂u vh      ∂u
                               2

        2 )u+…=-v∂x+ 2 (1-q)∂x2+… или
     ∂u ∂u h2        ∂2u
        +v = q(1-q) 2+…                                (2.42)
     ∂t ∂x 2τ        ∂x
     Из условия (2.41) получаем q(1-q)>0, откуда следует
     условие Куранта 0≤q≤1 и правило «против потока» v≥0.
           Этот результат можно интерпретировать следующим
     образом.    Левая    часть   (2.42)    представляет     собой
     уравнение (2.40), задача Коши для которого корректна.
     Правая часть (2.42) содержит члены, вызывающие отличие
     (2.38) от (2.40), из которых сохранён только первый
     член. Очевидно, именно свойства членов в правой части
     обуславливают специфику задачи (2.38), в частности её
     устойчивость. По форме (2.42) является уравнением
     Бюргерса,     для    устойчивости     которого      требуется
     неотрицательность коэффициента при второй производной.
     Следуя аналогии (2.42) с уравнением Бюргерса, величину
     vh    vτ
      2 (1- h)   называют    аппроксимационной     или     схемной
     вязкостью.

     Исследование устойчивости негиперболлических систем
уравнений по первому неисчезающему слагаемому ряда в (2.39)
работает не всегда. Так, в случае явной схемы для уравнения
диффузии приходим к дифференциальному приближению
∂u 1                     1
  = ln[1-q(eh∇+e-h∇-2)]u= ln[1+qh2∇2+…]u=D∇2u+…,  что   даёт
∂t τ                     τ
условие устойчивости D>0, которое, как известно, является
необходимым, но не достаточным.
     Таким образом, физически метод Яненко-Шокина сводится к
проверке знака диссипативных аппроксимационных поправок. Он
работает в том случае, когда исходное дифференциальное
уравнение не содержит диссипации (что справедливо для чисто
гиперболлических      уравнений).    Если    же   диссипация