Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

конечно-разностная схема (вообще говоря, нелинейная)
u
n+1
=T
τ
(u
n
). Многослойные схемы могут быть сведены к
двуслойным, в полной аналогии с тем, как ОДУ высокого
порядка сводятся к системе ОДУ первого порядка.
Пусть u=u
-
- некоторое стационарное решение, u
-
=T
τ
(u
-
).
Тогда u
-
устойчиво на отрезке 0≤t≤t
0
, если в некоторой норме
∀ε>0 ∃δ>0: ∀u
0
: ⎢⎟u
0
-u
-
⎢⎟<δ, ∀n: nτ≤t
0
→ ⎢⎟u
n
-u
-
⎢⎟<ε.
Наиболее просты для исследования линейные конечно-
разностные задачи u
n+1
=T
τ
u
n
, где T
τ
- оператор перехода. Как
обычно, исследование произвольной линейной задачи может
быть сведено к исследованию однородной. В этом случае
всегда u
-
=0, а данное выше определение устойчивости
эквивалентно равномерной ограниченности оператора T
n
τ
при
1≤n≤t
0
/τ. Исследование T
n
τ
носит не очень обозримый характер,
и его стремятся свести к исследованию T
τ
. Так, если t
0
конечно и ⎢⎟T
τ
⎢⎟≤1+cτ (условие Неймана), то ⎢⎟T
n
τ
⎢⎟≤(1+cτ)
n
≤e
ct0
.
Если t
0
бесконечно, то достаточно потребовать, чтобы ⎢⎟T
τ
⎢⎟≤1.
Для определённости везде ниже предполагается, что t
0
бесконечно и условие устойчивости имеет вид ⎢⎟T
τ
⎢⎟≤1. Такой
оператор иногда называют «сжимающим». Для проверки условия
⎢⎟T
τ
⎢⎟≤1 существуют два основных подхода: спектральный (метод
Неймана) и энергетический. Рассмотрим вначале спектральный
подход.
Если оператор перехода имеет простую структуру, т.е.
полный набор собственных функций e
k
, то при
u
n
=C
n
e
k
u
n+1
=C
n+1
e
k
=λ
k
C
n
e
k
=λ
k
u
n
, где λ
k
- собственное число e
k
,
называемое множителем перехода. Для того, чтобы ⎢⎟T
τ
⎢⎟≤1,
необходимо и достаточно, чтобы |λ
k
|≤1. Если T
τ
является
оператором сложной структуры и не имеет полной системы
собственных функций, то условия |λ
k
|≤1 оказывается
недостаточно для устойчивости. Дело в том, что для
собственных значений, отвечающих непустым сериям Жордана
оператора T
τ
имеются решения, ведущие себя как u
n
~λ
n
k
n
m
, для
ограниченности которых требуется |λ
k
|<1. Для собственных
чисел не соответствующих ни одной Жордановой серии по-
прежнему достаточно |λ
k
|≤1. Подавляющее число встречающихся
на практике операторов перехода имеют простую структуру.
Если рассматривается задача с постоянными
коэффициентами на равномерной сетке, то собственными
функциями являются Фурье-гармоники δu
k
~e
ikr
.
Пример 1
-одномерное уравнение теплопроводности.
∂u/∂t=D∂
2
u/∂x
2
+f(x) при x∈(0,1),
u(0,t)=a(t), u(1,t)=b(t), u(x,0)=g(x).
а)Явная схема. 
 конечно-разностная           схема     (вообще    говоря,       нелинейная)
  n+1      n
 u =Tτ(u ).       Многослойные        схемы    могут     быть    сведены    к
 двуслойным, в полной аналогии с                 тем, как ОДУ высокого
 порядка сводятся к системе ОДУ первого порядка.
        Пусть u=u - - некоторое стационарное решение, u              -=Tτ(u
                                                                          -).
 Тогда u - устойчиво на отрезке 0≤t≤t0, если в некоторой норме
 ∀ε>0 ∃δ>0: ∀u0: ⎢⎟u0-u   -⎢⎟<δ, ∀n: nτ≤t0 → ⎢⎟un-u -⎢⎟<ε.
        Наиболее просты для исследования линейные конечно-
разностные задачи un+1=Tτun, где Tτ - оператор перехода. Как
 обычно, исследование произвольной линейной задачи может
быть сведено к исследованию однородной. В этом случае
 всегда      -=0,
             u       а    данное      выше    определение       устойчивости
                                                                       n
 эквивалентно равномерной ограниченности оператора T τ при
                                 n
 1≤n≤t0/τ. Исследование T τ носит не очень обозримый характер,
 и его стремятся свести к исследованию Tτ. Так, если t0
                                                              n
 конечно и ⎢⎟Tτ⎢⎟≤1+cτ (условие Неймана), то ⎢⎟T τ ⎢⎟≤(1+cτ)n≤ect0.
 Если t0 бесконечно, то достаточно потребовать, чтобы ⎢⎟Tτ⎢⎟≤1.
 Для определённости везде ниже предполагается, что t0
 бесконечно и условие устойчивости имеет вид ⎢⎟Tτ⎢⎟≤1. Такой
 оператор иногда называют «сжимающим». Для проверки условия
⎢⎟Tτ⎢⎟≤1 существуют два основных подхода: спектральный (метод
 Неймана) и энергетический. Рассмотрим вначале спектральный
 подход.
        Если оператор перехода имеет простую структуру, т.е.
 полный        набор      собственных        функций        ek,    то     при
 u =Cneku =Cn+1ek=λkCnek=λku , где λk - собственное число ek,
  n       n+1                     n

 называемое множителем перехода. Для того, чтобы ⎢⎟Tτ⎢⎟≤1,
 необходимо и достаточно, чтобы |λk|≤1. Если Tτ является
 оператором сложной структуры и не имеет полной системы
 собственных        функций,        то    условия      |λk|≤1    оказывается
 недостаточно для устойчивости. Дело в том, что для
собственных значений, отвечающих непустым сериям Жордана
                                                                   n
оператора Tτ имеются решения, ведущие себя как un~λknm , для
 ограниченности которых требуется |λk|<1. Для собственных
 чисел не соответствующих ни одной Жордановой серии по-
 прежнему достаточно |λk|≤1. Подавляющее число встречающихся
 на практике операторов перехода имеют простую структуру.
        Если      рассматривается           задача        с      постоянными
 коэффициентами        на     равномерной     сетке,      то    собственными
 функциями являются Фурье-гармоники δuk~eikr.

Пример 1-одномерное уравнение теплопроводности.

     ∂u/∂t=D∂2u/∂x2+f(x) при x∈(0,1),
     u(0,t)=a(t), u(1,t)=b(t), u(x,0)=g(x).

     а)Явная схема.

Страницы