Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

п.5.Условия сходимости.
Естественно возникает вопрос: при каких условиях
решение конечно-разностной задачи близко к решению
дифференциальной? Ответ на него даёт следующая
Теорема (А.Ф.Филиппов):
Пусть существуют положительные константы M
1
, M
2
, C
1
, C
2
,
h
0
, такие, что при любом h≤h
0
⎢⎟u
h
⎢⎟≤(C
1
⎢⎟f
h
⎢⎟+C
2
⎢⎟g
h
⎢⎟)*h
p
(2.28)
(требование устойчивости конечно-разностной задачи) и
⎢⎟A
h
u(x
h
)-f
h
⎢⎟≤M
1
h
n
, (2.29)
⎢⎟a
h
u(x
h
)-g
h
⎢⎟≤M
2
h
n
(2.30)
(требование аппроксимации конечно-разностной задачи) в
какой-либо норме. Тогда в этой норме при любом h≤h
0
⎢⎟u(x
h
)-u
h
⎢⎟≤(C
1
M
1
+C
2
M
2
)*h
n+p
,т.е. решение разностной задачи
равномерно сходится к решению дифференциальной по норме при
h→0.
Доказательство
:
Пусть u
h
-решение конечно-разностной задачи. Тогда
A
h
(u
h
-u(x
h
))=f
h
-A
h
u(x
h
) и a
h
(u
h
-u(x
h
))=g
h
-a
h
u(x
h
), поскольку
операторы A
h
и a
h
линейны.
В силу (2.28)
⎢⎟u
h
-u(x
h
)⎢⎟≤(C
1
⎢⎟f
h
-A
h
u(x
h
)⎢⎟ + C
2
⎢⎟g
h
-a
h
u(x
h
)⎢⎟)*h
p
. (2.31)
Подставляя (2.29) и (2.30) в (2.31) получим:
⎢⎟u
h
-u(x
h
)⎢⎟≤(C
1
M
1
h
n
+C
2
M
2
h
n
)*h
p
= (C
1
M
1
+C
2
M
2
)*h
p+n
.
Что и требовалось доказать.
Везде в примерах рассматривалась локальная погрешность
аппроксимации, в то время, как в условиях (2.29),(2.30)
требуется глобальная. Если погрешность оценивается в норме ⎢⎟
•⎢⎟
L2
, то как правило, порядок глобальной погрешности
оказывается на единицу меньше порядка локальной. Это можно
показать следующим образом. Значение решения в некоторой
внутренней точке «привязано» к краевому условию цепочкой
алгебраических уравнений, которые являются аппроксимацией
дифференциального уравнения с погрешностью O(h
p
). Значение
решения в граничной точке определяется аппроксимацией
краевого условия и имеет погрешность O(h
q
). Считая, что при
движении от узла к узлу локальные погрешности складываются
(это довольно грубое предположение, но обычно соответствует
опыту) получим, что погрешность решения во внутренней точке
имеет порядок δu~O(h
q
+N
1
*h
p
), где N
1
- число узлов между
нашей точкой и границей. Поскольку N
1
~N, где N - число узлов
сетки, то δu~O(h
q
+N*h
p
)=O(h
q
+h
p-1
). Полученная оценка
показывает, что для решения задачи необходимы разностные
схемы с локальным порядком аппроксимации не ниже второго.
Использование схем первого порядка точности приводит к 
п.5.Условия сходимости.

            Естественно возникает вопрос: при каких условиях
   решение         конечно-разностной         задачи      близко к    решению
 дифференциальной? Ответ на него даёт следующая
   Теорема (А.Ф.Филиппов):
            Пусть существуют положительные константы M1, M2, C1, C2,
h0, такие, что при любом h≤h0
  ⎢⎟uh⎢⎟≤(C1⎢⎟fh⎢⎟+C2⎢⎟gh⎢⎟)*hp                                    (2.28)
  (требование устойчивости конечно-разностной задачи) и
   ⎢⎟Ahu(xh)-fh⎢⎟≤M1hn,                                            (2.29)
⎢⎟a u(x )-g ⎢⎟≤M2h
      h      h   h      n
                                                                   (2.30)
 (требование аппроксимации конечно-разностной задачи) в
   какой-либо норме. Тогда в этой норме при любом h≤h0
 ⎢⎟u(xh)-uh⎢⎟≤(C1M1+C2M2)*hn+p ,т.е. решение разностной задачи
   равномерно сходится к решению дифференциальной по норме при
h→0.
Доказательство:
         Пусть uh-решение конечно-разностной задачи. Тогда
         Ah(uh-u(xh))=fh-Ahu(xh) и ah(uh-u(xh))=gh-ahu(xh), поскольку
         операторы Ah и ah линейны.
         В силу (2.28)
         ⎢⎟uh-u(xh)⎢⎟≤(C1⎢⎟fh-Ahu(xh)⎢⎟ + C2⎢⎟gh-ahu(xh)⎢⎟)*hp.    (2.31)
         Подставляя (2.29) и (2.30) в (2.31) получим:
        ⎢⎟uh-u(xh)⎢⎟≤(C1M1hn+C2M2hn)*hp = (C1M1+C2M2)*hp+n.
         Что и требовалось доказать.

       Везде в примерах рассматривалась локальная погрешность
аппроксимации, в то время, как в условиях (2.29),(2.30)
требуется глобальная. Если погрешность оценивается в норме ⎢⎟
•⎢⎟L2,   то  как   правило,   порядок    глобальной  погрешности
оказывается на единицу меньше порядка локальной. Это можно
показать следующим образом. Значение решения в некоторой
внутренней точке «привязано» к краевому условию цепочкой
алгебраических уравнений, которые являются аппроксимацией
дифференциального уравнения с погрешностью O(hp). Значение
решения в граничной точке определяется аппроксимацией
краевого условия и имеет погрешность O(hq). Считая, что при
движении от узла к узлу локальные погрешности складываются
(это довольно грубое предположение, но обычно соответствует
опыту) получим, что погрешность решения во внутренней точке
имеет порядок δu~O(hq+N1*hp), где N1 - число узлов между
нашей точкой и границей. Поскольку N1~N, где N - число узлов
сетки,      то   δu~O(hq+N*hp)=O(hq+hp-1).   Полученная   оценка
показывает, что для решения задачи необходимы разностные
схемы с локальным порядком аппроксимации не ниже второго.
Использование схем первого порядка точности приводит к

Страницы