Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

∂u/∂t=D∂
2
u/∂x
2
+f(x) при x∈(0,1), (2.26)
u(0,t)=a(t), u(1,t)=b(t), u(x,0)=g(x). (2.27)
а)Явная схема.
A
h
u
j
n
=(u
n+1
j
-u
n
j
)/τ+D(u
n
j+1
+u
n
j-1
-2u
n
j
)/h
2
Подставляя Фурье-гармонику e
-i
ω
tn+ikx
получим, что A
h
kk’ωω’
=[(e
-i
ωτ
-1)/τ+4Dsin
2
(kh/2)/h
2
]δ
kk’ωω’
внутри отрезка, и
A
h
kk’ωω’
=δ
kk’ωω’
в граничных точках. Вырождение матрицы
наступает при e
-i
ω
t
=1-4Dτ/h
2
sin
2
(kh/2). Т.к. ⎜e
-i
ω
t
⎜=1, это
возможно при 4Dτ/h
2
sin
2
(kh/2)=0 или 2. Однако из
sin
2
(kh/2)=0 следует kh=2πp и e
ikx
=1, что не
удовлетворяет нулевым краевым условиям, поэтому этот
случай надо отбросить. Таким образом, задача устойчива
при 4Dτ/h
2
sin
2
(kh/2)<2, для чего достаточно потребовать
Dτ/h
2
<1/2.
б)Неявная схема.
A
h
u
n
j
=(u
n+1
j
-u
n
j
)/τ+D(u
n+1
j+1
+u
n+1
j-1
-2u
n+1
j
)/h
2
Подставляя Фурье-гармонику e
-i
ω
tn+ikxj
получим, что A
h
kk’ωω’
=[(e
-i
ωτ
-1)/τ+4Dsin
2
(kh/2)/h
2
]δ
kk’ωω’
внутри отрезка, и
A
h
kk’ωω’
=δ
kk’ωω’
в граничных точках. Нетривиальные решения
существуют при e
-i
ωτ
=1+4Dτ/h
2
sin
2
(kh/2), что невозможно
ни при каких sin
2
(kh/2)≠0 и τ>0. Неявная схема
безусловно устойчива.
Для линейного конечно-разностного оператора A
h
с
переменными коэффициентами (что бывает в случае переменного
оператора A или неоднородной сетки), можно рассмотреть ряд
Фурье по собственным функциям оператора A
h
. Множество этих
функций конечно (их число близко к числу узлов сетки) и ряд
Фурье по собственным функциям переходит в конечную сумму.
При переходе к такому базису матрица A принимает
диагональный вид. Однако задача построения собственных
функций обычно неразрешима аналитически, что сильно снижает
ценность данного подхода.
В некоторых случаях невырожденность оператора
A
h
возможно проанализировать численно, без его диагонализации.
При этом оператор A
h
рассматривается как матрица,
действующая на вектор-столбец из значений функции в узлах
сетки, и непосредственно вычисляется его определитель.
Проведя серию вычислений определителя для различных
случайных значений параметров (сеток и переменных
коэффициентов оператора A) из некоторого диапазона, и
убедившись в отсутствии вырождения, можно надеяться на
устойчивость данного метода. Такой подход достаточно
трудоёмок
и применяется редко, ибо проще и надёжнее
оказывается произвести серию решений самой задачи (2.3)-
(2.4). 
    ∂u/∂t=D∂2u/∂x2+f(x) при x∈(0,1),                  (2.26)
    u(0,t)=a(t), u(1,t)=b(t), u(x,0)=g(x).            (2.27)

    а)Явная схема.
              n+1  n    n    n     n
    Ahujn=(uj -uj)/τ+D(uj+1+uj-1-2uj)/h2
                                                              h
    Подставляя Фурье-гармонику e-iωtn+ikx получим, что Akk’ωω’
    =[(e-iωτ-1)/τ+4Dsin2(kh/2)/h2]δkk’ωω’   внутри    отрезка,   и
     h
    Akk’ωω’=δkk’ωω’ в граничных точках. Вырождение матрицы
    наступает при e-iωt=1-4Dτ/h2sin2(kh/2). Т.к. ⎜e-iωt⎜=1, это
    возможно при 4Dτ/h2sin2(kh/2)=0 или 2. Однако из
    sin2(kh/2)=0     следует     kh=2πp   и    eikx=1,    что   не
    удовлетворяет нулевым краевым условиям, поэтому этот
    случай надо отбросить. Таким образом, задача устойчива
    при 4Dτ/h2sin2(kh/2)<2, для чего достаточно потребовать
    Dτ/h2<1/2.

    б)Неявная схема.
        n    n+1  n      n+1 n+1  n+1
    Ahuj=(uj -uj)/τ+D(uj+1+uj-1-2uj )/h2
                                                          h
    Подставляя Фурье-гармонику e-iωtn+ikxj получим, что Akk’ωω’
    =[(e-iωτ-1)/τ+4Dsin2(kh/2)/h2]δkk’ωω’ внутри  отрезка,   и
     h
    Akk’ωω’=δkk’ωω’ в граничных точках. Нетривиальные решения
    существуют при e-iωτ=1+4Dτ/h2sin2(kh/2), что невозможно
    ни при каких sin2(kh/2)≠0 и τ>0. Неявная схема
    безусловно устойчива.

     Для    линейного    конечно-разностного    оператора   Ah  с
переменными коэффициентами (что бывает в случае переменного
оператора A или неоднородной сетки), можно рассмотреть ряд
Фурье по собственным функциям оператора Ah. Множество этих
функций конечно (их число близко к числу узлов сетки) и ряд
Фурье по собственным функциям переходит в конечную сумму.
При    переходе    к    такому   базису   матрица    A  принимает
диагональный вид. Однако задача построения собственных
функций обычно неразрешима аналитически, что сильно снижает
ценность данного подхода.
     В   некоторых     случаях   невырожденность    оператора  Ah
возможно проанализировать численно, без его диагонализации.
При    этом    оператор    Ah   рассматривается    как   матрица,
действующая на вектор-столбец из значений функции в узлах
сетки, и непосредственно вычисляется его определитель.
Проведя    серию     вычислений   определителя    для   различных
случайных     значений     параметров    (сеток    и   переменных
коэффициентов оператора A) из некоторого диапазона, и
убедившись в отсутствии вырождения, можно надеяться на
устойчивость     данного    метода.   Такой   подход   достаточно
трудоёмок и применяется редко, ибо проще и надёжнее
оказывается произвести серию решений самой задачи (2.3)-
(2.4).

Страницы