Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Для аппроксимации второй производной необходим, как
минимум, трёхточечный шаблон. На равномерной сетке
используется схема:
Λ
2
2
u
i
≡Λ
2
u
i
≡(u
i+1
-2u
i
+u
i-1
)/h
2
=u
”
i
+u
””
i
h
2
/12, (2.14)
обеспечивающая второй порядок точности. На неравномерной
сетке используется схема:
2[(u
i+1
-u
i
)/h
i
-(u
i
-u
i-1
)/h
i-1
]/(h
i
+h
i-1
)=
u
”
i
+u
”’
i
(h
i
-h
i-1
)/3+O(h
2
), (2.15)
обеспечивающая первый порядок точности аппроксимации второй
производной в точке x
i
. Заметим, однако, что в точке
z
i
=x
i
+(h
i
-h
i-1
)/3=(x
i+1
+x
i
+x
i-1
)/3 данная схема даёт второй
порядок точности, поскольку u
”
i
+u
”’
i
(h
i
-h
i-1
)/3 =u
”
(z
i
)+O(h
2
). На
равномерной сетке (2.15) переходит в (2.14).
Отметим также схему аппроксимации производной второго
порядка на четырёхточечном шаблоне:
(u
i+2
-u
i+1
-u
i
+u
i-1
)/(2h
2
)=u
”
i+1/2
+u
””
i+1/2
5/24h
2
, (2.16)
п.4. Устойчивость конечно-разностной задачи.
Термин «устойчивость» линейного численного метода можно
понимать в нескольких смыслах. В том числе:
-Устойчивость по краевым условиям. Решение (2.3)-(2.4)
называется устойчивым по краевым условиям, если при f≡0
существуют такое C(h)>0, что
⎢⎟u
h
⎢⎟≤C(h)⎢⎟g
h
⎢⎟. (2.17)
-Устойчивость по правой части. Решение (2.3)-(2.4)
называется устойчивым по правой части, если при g≡0
существуют такое C(h)>0, что
⎢⎟u
h
⎢⎟≤C(h)⎢⎟f
h
⎢⎟. (2.18)
-Временная устойчивость. Это понятие применимо только к
задачам Коши. При этом считается, что конечно-разностный
метод устойчив на отрезке [0,T] (или даже на [0,∞)), если
для однородной задачи ⎢⎟u
h
(t)⎢⎟≤C(h)⎢⎟u
h
(0)⎢⎟ для любых t на
этом отрезке. Существенно, что C(h) не зависит от t.
Свойство аппроксимации конечно-разностной задачей
дифференциальной задачи проверяется сравнительно просто
подстановкой точного решения в конечно-разностную задачу и
разложением его по Тейлору. Проверить выполнение
устойчивости значительно сложнее. В случае линейной
стационарной задачи (2.3)-(2.4) всю задачу можно
представить в виде расширенной
системы линейных уравнений
Au=F, объединяющей условия во внутренних точках области и на
её границе. Тогда условия типа (2.17)-(2.18) получаются
тогда и только тогда, когда расширенная матрица A 
     Для аппроксимации второй производной необходим, как
минимум,   трёхточечный  шаблон.  На   равномерной  сетке
используется схема:
 2
Λ2ui≡Λ2ui≡(ui+1-2ui+ui-1)/h2=u”i+u”” 2
                                  i h /12,                (2.14)
обеспечивающая второй порядок точности.           На   неравномерной
сетке используется схема:
2[(ui+1-ui)/hi-(ui-ui-1)/hi-1]/(hi+hi-1)=
                      2
u”i+u”’
     i (hi-hi-1)/3+O(h ),                         (2.15)
обеспечивающая первый порядок точности аппроксимации второй
производной в точке xi. Заметим, однако, что в точке
zi=xi+(hi-hi-1)/3=(xi+1+xi+xi-1)/3 данная схема даёт второй
                                                 ”        2
порядок точности, поскольку u”i+u”’
                                 i (hi-hi-1)/3 =u (zi)+O(h ). На
равномерной сетке (2.15) переходит в (2.14).
     Отметим также схему аппроксимации производной второго
порядка на четырёхточечном шаблоне:

(ui+2-ui+1-ui+ui-1)/(2h2)=u”i+1/2+u””        2
                                   i+1/25/24h ,           (2.16)


п.4. Устойчивость конечно-разностной задачи.

      Термин «устойчивость» линейного численного метода можно
понимать в нескольких смыслах. В том числе:
-Устойчивость по краевым условиям. Решение (2.3)-(2.4)
   называется устойчивым по краевым условиям, если при f≡0
   существуют такое C(h)>0, что
     ⎢⎟uh⎢⎟≤C(h)⎢⎟gh⎢⎟.                               (2.17)
-Устойчивость           по правой части.  Решение    (2.3)-(2.4)
   называется устойчивым по правой части, если при g≡0
   существуют такое C(h)>0, что
      ⎢⎟uh⎢⎟≤C(h)⎢⎟fh⎢⎟.                              (2.18)
-Временная устойчивость. Это понятие применимо только к
   задачам Коши. При этом считается, что конечно-разностный
   метод устойчив на отрезке [0,T] (или даже на [0,∞)), если
   для однородной задачи ⎢⎟uh(t)⎢⎟≤C(h)⎢⎟uh(0)⎢⎟ для любых t на
   этом отрезке. Существенно, что C(h) не зависит от t.

Свойство     аппроксимации      конечно-разностной      задачей
дифференциальной задачи проверяется сравнительно просто
подстановкой точного решения в конечно-разностную задачу и
разложением    его    по    Тейлору.    Проверить    выполнение
устойчивости    значительно   сложнее.    В   случае   линейной
стационарной    задачи      (2.3)-(2.4)    всю   задачу   можно
представить в виде расширенной системы линейных уравнений
Au=F, объединяющей условия во внутренних точках области и на
её границе. Тогда условия типа (2.17)-(2.18) получаются
тогда   и   только   тогда,   когда   расширенная    матрица  A

Страницы