Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Или, областью задания задачи Коши по времени может
считаться полуограниченный отрезок [0,∞).
п.2. Аппроксимация конечно-разностного метода.
Пусть функция u(x,t) - точное решение дифференциальной
задачи (2.1)-(2.2). Ему соответствует некоторая сеточная
функция, получаемая ограничением на сетку. Однако, эта
сеточная функция, вообще говоря, не является решением
конечно-разностной задачи (2.3)-(2.4). Если существуют
числа C>0 и q>0, такие,
что:
⎜A
h
u(x
i
,t)-f
h
i
⎜≤Ch
q
i
, (2.5)
то говорят, что оператор A
h
аппроксимирует A с порядком q.
Аналогично, если
⎜a
h
u(x
i
,t)-g
h
i
⎜≤Ch
q
i
, (2.6)
то говорят, что оператор a
h
аппроксимирует краевые условия с
порядком q. Иными словами, под погрешностью аппроксимации
понимается невязка, получаемая при подстановке точного
решения в конечно-разностный метод, а под аппроксимацией
конечно-разностной задачей дифференциальной задачи
понимается стремление этой невязки к нулю при h→0.
Введённую выше аппроксимацию можно назвать локальной.
Она, вообще говоря, ничего не говорит о
близости сеточного
решения конечно-разностной задачи к точному решению
дифференциальной (точнее к ограничению его на сетку).
Величина, характеризующая близость этих решений называется
глобальной погрешностью. Если ⎢⎟A
h
u-f
h
⎢⎟≤Ch
q
и ⎢⎟a
h
u-g
h
⎢⎟≤Ch
q
в
какой-либо норме, то говорят, что разностная задача
аппроксимирует дифференциальную с порядком q. Связь
локальной и глобальной аппроксимации зависит от нормы, в
которой рассматривается глобальная аппроксимация. Здесь
можно отметить, что на практике порядок глобальной
аппроксимации обычно на единицу меньше или равен порядку
локальной.
Пример 1.
Краевая задача первого порядка.
∂u/∂x+cu=f(x) при x∈(0,1), (2.7)
с краевым условием u(0)=g. (2.8)
Рассмотрим конечно-разностную схему:
(u
i+1
-u
i
)/h
i
+ cu
i
=f
i
(2.9)
с краевым условием u
0
=g. (2.10)
Пусть u
i
- ограничение на сетку точного решения задачи
(2.7)-(2.8). тогда (2.7) выполнено тождественно.
(u
i+1
-u
i
)/h
i
+cu
i
-f
i
=(u
i+1
-u
i
)/h
i
+cu
i
-f
i
-((∂u/∂x)
i
+cu
i
-f
i
)=
=(u
i+1
-u
i
)/h
i
-(∂u/∂x)
i
. Разлагая u
i+1
в ряд Тейлора с
центром разложения x
i
и ограничиваясь тремя первыми
слагаемыми получим u
i+1
=u
i
+u
’
i
h
i
+u”(ξ)h
2
i
/2. Откуда (u
i+1
-
u
i
)/h
i
-(∂u/∂x)
i
=(u
i
+u
’
i
h
i
+u”(ξ)h
2
i
/2-u
i
)/h
i
-u
’
i
=u”(ξ)h
i
/2= 
Или, областью задания задачи Коши по                  времени   может
считаться полуограниченный отрезок [0,∞).

п.2. Аппроксимация конечно-разностного метода.

     Пусть функция u(x,t) - точное решение дифференциальной
задачи (2.1)-(2.2). Ему соответствует некоторая сеточная
функция, получаемая ограничением на сетку. Однако, эта
сеточная функция, вообще говоря, не является решением
конечно-разностной задачи (2.3)-(2.4). Если существуют
числа C>0 и q>0, такие, что:
                 h    q
     ⎜Ahu(xi,t)-fi⎜≤Chi,                              (2.5)
                             h
то говорят, что оператор A аппроксимирует A с порядком q.
Аналогично, если
                 h    q
     ⎜ahu(xi,t)-gi⎜≤Chi,                              (2.6)
то говорят, что оператор ah аппроксимирует краевые условия с
порядком q. Иными словами, под погрешностью аппроксимации
понимается невязка, получаемая при подстановке точного
решения в конечно-разностный метод, а под аппроксимацией
конечно-разностной       задачей     дифференциальной     задачи
понимается стремление этой невязки к нулю при h→0.
     Введённую выше аппроксимацию можно назвать локальной.
Она, вообще говоря, ничего не говорит о близости сеточного
решения    конечно-разностной     задачи   к   точному   решению
дифференциальной (точнее к ограничению его на сетку).
Величина, характеризующая близость этих решений называется
глобальной погрешностью. Если ⎢⎟Ahu-fh⎢⎟≤Chq и ⎢⎟ahu-gh⎢⎟≤Chq в
какой-либо норме, то говорят, что разностная задача
аппроксимирует     дифференциальную    с   порядком   q.   Связь
локальной и глобальной аппроксимации зависит от нормы, в
которой рассматривается глобальная аппроксимация. Здесь
можно    отметить,    что   на   практике   порядок   глобальной
аппроксимации обычно на единицу меньше или равен порядку
локальной.

Пример 1. Краевая задача первого порядка.

    ∂u/∂x+cu=f(x) при x∈(0,1),                         (2.7)
    с краевым условием u(0)=g.                         (2.8)
    Рассмотрим конечно-разностную схему:
    (ui+1-ui)/hi + cui=fi                              (2.9)
    с краевым условием u0=g.                           (2.10)
    Пусть ui - ограничение на сетку точного решения задачи
    (2.7)-(2.8). тогда (2.7) выполнено тождественно.
    (ui+1-ui)/hi+cui-fi=(ui+1-ui)/hi+cui-fi-((∂u/∂x)i+cui-fi)=
    =(ui+1-ui)/hi-(∂u/∂x)i. Разлагая ui+1 в ряд Тейлора с
    центром разложения xi и ограничиваясь тремя первыми
                                              2
    слагаемыми   получим   ui+1=ui+u’ihi+u”(ξ)hi/2.    Откуда   (ui+1-
                                    2
    ui)/hi-(∂u/∂x)i=(ui+u’ihi+u”(ξ)hi/2-ui)/hi-u’i=u”(ξ)hi/2=

Страницы