Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Трудоёмкость слабо растёт при увеличении размерности
задачи.
Н:
Медленная сходимость.
Низкая точность.
Следует иметь в виду, что между указанными методами нет
чёткой границы. Так, сеточные методы можно считать
вариационными, рассматривая значения решения в узлах сетки
как коэффициенты разложения по некоторому базису числовых
векторов. Таким базисом является набор решений, равных
единице в одном из узлов сетки и нулю
во всех остальных. С
другой стороны, при некотором выборе минимизируемой функции
и базиса основных функций, вариационный подход приводит к
конечно-разностным уравнениям сеточных методов. Развитие
последнего подхода привёло к появлению т.н. метода конечных
элементов. Этот метод оказывается весьма эффективным для
построения конечно-разностных уравнений на нерегулярных
сетках, хотя, в общем
случае, не даёт рецепта их решения.
§2.
Анализ сеточных методов.
Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
п.1.Постановка конечно-разностной задачи.
Данный курс посвящён почти исключительно сеточным
методам. Как указано выше, при реализации сеточного метода
1)непрерывному множеству точек x∈[a,b] ставится в
соответствие конечное множество {x
i
}, такое, что 0≤i≤N,
x
0
=a, x
N
=b, x
i+1
>x
i
(ограничиваясь для определённости
одномерным случаем, хотя это не принципиально).
2)непрерывной функции U(x) ставится в соответствие конечное
множество U
i
=U(x
i
).
3)Дифференциальной задаче
Au = f, x∈D (2.1)
au = g, x∈∂D (2.2)
ставится в соответствие конечно-разностная задача
A
h
u
h
= f
h
, x
h
∈D (2.3)
a
h
u
h
= g
h
, x
h
∈∂D. (2.4)
Здесь и ниже будем предполагать, что операторы A,a,A
h
,a
h
линейны.
В многомерном случае будем рассматривать множества
точек (r
1…M
)
i1…iM
, которые покрывают область D, размещаясь в
нём по некоторому правилу.
Заметим, что представление (2.1)-(2.2) включает как
эволюционные задачи Коши, так и краевые задачи, однако для
задач Коши «граница» ∂D не включает конечный момент времени. 
  Трудоёмкость слабо растёт     при   увеличении   размерности
  задачи.
Н:
  Медленная сходимость.
  Низкая точность.

     Следует иметь в виду, что между указанными методами нет
чёткой   границы.   Так,  сеточные   методы  можно   считать
вариационными, рассматривая значения решения в узлах сетки
как коэффициенты разложения по некоторому базису числовых
векторов. Таким базисом является набор решений, равных
единице в одном из узлов сетки и нулю во всех остальных. С
другой стороны, при некотором выборе минимизируемой функции
и базиса основных функций, вариационный подход приводит к
конечно-разностным уравнениям сеточных методов. Развитие
последнего подхода привёло к появлению т.н. метода конечных
элементов. Этот метод оказывается весьма эффективным для
построения конечно-разностных уравнений на нерегулярных
сетках, хотя, в общем случае, не даёт рецепта их решения.

                     §2.
          Анализ сеточных методов.
  Аппроксимация, устойчивость и сходимость.
п.1.Постановка конечно-разностной задачи.

     Данный курс посвящён почти исключительно сеточным
методам. Как указано выше, при реализации сеточного метода
1)непрерывному     множеству   точек    x∈[a,b]   ставится   в
соответствие конечное множество {xi}, такое, что 0≤i≤N,
x0=a,   xN=b,   xi+1>xi  (ограничиваясь   для   определённости
одномерным случаем, хотя это не принципиально).
2)непрерывной функции U(x) ставится в соответствие конечное
множество Ui=U(xi).
3)Дифференциальной задаче
     Au = f, x∈D                                    (2.1)
     au = g, x∈∂D                                   (2.2)
ставится в соответствие конечно-разностная задача
     Ahuh = fh, xh∈D                                (2.3)
     a u = g , x ∈∂D.
      h h    h    h
                                                    (2.4)
Здесь и ниже будем предполагать, что операторы A,a,Ah,ah
линейны.
     В многомерном случае будем рассматривать множества
точек (r1…M)i1…iM, которые покрывают область D, размещаясь в
нём по некоторому правилу.
     Заметим, что представление (2.1)-(2.2) включает как
эволюционные задачи Коши, так и краевые задачи, однако для
задач Коши «граница» ∂D не включает конечный момент времени.

Страницы