Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

=O(h
i
), где x
i
≤ξ≤x
i+1
и функция u предполагается дважды
непрерывно дифференцируемой. Следовательно схема (2.9)
имеет первый порядок аппроксимации. Легко видеть, что
краевое условие (2.10) аппроксимирует (2.8) точно.
п.3. Аппроксимация дифференциальных операторов конечными
разностями.
Как видно из последнего примера, аппроксимация
разностного метода обычно определяется аппроксимацией
производных, входящих в дифференциальный оператор A из
(2.1). Рассмотрим наиболее употребительные на практике
аппроксимации
операторов дифференцирования первого и
второго порядков ∂/∂x и ∂
2
/∂x
2
.
Для аппроксимации производной первого порядка чаще
всего используются несимметричные схемы
∂u
i
/∂x ~ (u
i+1
-u
i
)/h
i
≡Λ
+
u
i
(правая разность)
∂u
i
/∂x ~ (u
i
-u
i-1
)/h
i-1
≡Λ
-
u
i
(левая разность)
и схема с центральной разностью
∂u
i
/∂x ~ (u
i+1
-u
i-1
)/(h
i-1
+h
i
)≡Λ
2
u
i
Здесь и далее с целью более компактной записи стандартных
конечно-разностных аппроксимаций производных часто
используют обозначения Λ
±u
i
≡Λ
1
±
u
i
≡±(u
i±1
-u
i
)/h и Λ
2
u
i
≡(u
i+1
-u
i-
1
)/2h=1/2(Λ
1
+
+Λ
1
-
)u
i
. Верхний индекс при Λ обозначает порядок
аппроксимации, а нижний - направление или порядок разности.
Несложно убедиться, что несимметричные схемы дают первый
порядок точности при аппроксимации первой производной в
точке x
i
:
Λ
+
u
i
=u
’
i
+h
i
/2u
”
i
+O(h
2
i
) (2.11)
Λ
-
u
i
=u
’
i
-h
i-1
/2u
”
i
+O(h
2
i-1
) (2.12)
Однако они обеспечивают второй порядок в середине отрезка,
при x=(x
i
+x
i±1
)/2:
Λ
+
u
i
=u
’
i+1/2
+u
”’
i+1/2
h
2
i
/24+O(h
3
i
)
Λ
-
u
i
=u
’
i-1/2
+u
”’
i-1/2
h
2
i-1
/24+O(h
3
i-1
)
Схема с центральной разностью обеспечивает второй порядок
точности на равномерной сетке и первый порядок точности на
неравномерной сетке:
Λ
2
u
i
=u
’
i
+u
”
i
(h
i
-h
i-1
)/2+u
”’
i
(h
2
i
+h
2
i-1
-h
i
h
i-1
)/6 (2.13) 
     =O(hi), где xi≤ξ≤xi+1 и функция u предполагается дважды
     непрерывно дифференцируемой. Следовательно схема (2.9)
     имеет первый порядок аппроксимации. Легко видеть, что
     краевое условие (2.10) аппроксимирует (2.8) точно.

п.3. Аппроксимация дифференциальных операторов конечными
разностями.

     Как  видно    из   последнего    примера,   аппроксимация
разностного   метода   обычно    определяется   аппроксимацией
производных, входящих в дифференциальный оператор A из
(2.1). Рассмотрим наиболее употребительные на практике
аппроксимации   операторов     дифференцирования   первого   и
второго порядков ∂/∂x и ∂ /∂x .
                         2   2

     Для аппроксимации производной первого порядка чаще
всего используются несимметричные схемы

∂ui/∂x ~ (ui+1-ui)/hi≡Λ+ui (правая разность)
∂ui/∂x ~ (ui-ui-1)/hi-1≡Λ-ui (левая разность)

и схема с центральной разностью

∂ui/∂x ~ (ui+1-ui-1)/(hi-1+hi)≡Λ2ui

Здесь и далее с целью более компактной записи стандартных
конечно-разностных     аппроксимаций      производных   часто
                               1
используют обозначения Λ±ui≡Λ± ui≡±(ui±1-ui)/h и Λ ui≡(ui+1-ui-
                                                    2
           1  1
1)/2h=1/2(Λ++Λ-)ui. Верхний индекс при Λ обозначает порядок
аппроксимации, а нижний - направление или порядок разности.
Несложно убедиться, что несимметричные схемы дают первый
порядок точности при аппроксимации первой производной в
точке xi:

                      2
Λ+ui=u’i+hi/2u”i+O(hi)                              (2.11)
                          2
Λ-ui=u’i-hi-1/2u”i+O(hi-1)                          (2.12)

Однако они обеспечивают второй порядок в середине отрезка,
при x=(xi+xi±1)/2:

                  2           3
Λ+ui=u’i+1/2+u”’
              i+1/2hi/24+O(hi)
                  2               3
Λ-ui=u’i-1/2+u”’
              i-1/2hi-1/24+O(hi-1)


Схема с центральной разностью обеспечивает второй порядок
точности на равномерной сетке и первый порядок точности на
неравномерной сетке:

                                  2   2
Λ2ui=u’i+u”i(hi-hi-1)/2+u”’
                         i (hi+hi-1-hihi-1)/6       (2.13)

Страницы