Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

невырождена, причём C(h)~⎢⎟A
-1
⎢⎟. Матрица A обычно имеет очень
большую размерность, и прямая проверка её невырожденности
оказывается невозможной.
С точки зрения линейной алгебры, конечно-разностные
уравнения можно рассматривать как координатную форму
векторно-матричного уравнения Au=F в базисе {ξ}, где ξ
k
- N-
мерный числовой вектор, N-число узлов сетки, ξ
k
(m)=δ
km
(в k-
том узле сетки ξ
k
(k)=1 и ξ
k
(m)=0 в остальных узлах).
Структура матрицы A может быть упрощена переходом к другому
базису. Так, во многих случаях эта матрица диагонализуется
при переходе к тригонометрическому базису η
k
(m)=e
ikm
ϕ
. В
частности, это имеет место для линейных конечно-разностных
схем с постоянными коэффициентами на равномерной сетке. В
самом деле, Λ
+
η
k
(m)=
e
ik
-1
h
η
k
(m), Λ
-
η
k
(m)=
1-e
-ik
h
η
k
(m),
Λ
2
η
k
(m)=
2i
h
sin(k)η
k
(m) и Λ
2
η
k
(m)=-
4sin
2
(k/2)
h
2
η
k
(m). Т.е. η
k
(m)
является собственной функцией операторов конечных
разностей. Тоже относится и к любой линейной комбинации
операторов Λ, которую и представляет собой линейное
конечно-разностное уравнение с постоянными коэффициентами
на однородной сетке. Поэтому при переходе к базису η
k
(m)
матрица A принимает диагональный вид, а проверка её
невырожденности сводится к проверке диагональных элементов.
Данная ситуация аналогична переходу от ОДУ с постоянными
коэффициентами к алгебраическому уравнению при разложении
решения в ряд Фурье. Этот метод, впервые применённый
Нейманом, носит название спектрального метода исследования
устойчивости.
Пример 1
-одномерное уравнение второго порядка.
∂
2
u/∂x
2
+cu=f(x) при x∈(0,1), (2.22)
u(0)=a, u(1)=b. (2.23)
Введём равномерную сетку на отрезке (0,1) и
аппроксимируем левую часть (2.22) оператором
A
h
u
j
=cu
j
+(u
j+1
+u
j-1
-2u
j
)/h
2
, где h - шаг сетки. A
h
C
k
e
ikx
=
C
k
[c+(e
ikh
+e
-ikh
-2)/h
2
]e
ikxj
= C
k
[c-4sin
2
(kh/2)/h
2
]e
ikxj
. При
этом A
h
km
=[c-4sin
2
(kh/2)/h
2
]δ
km
, при x∈(0,1). В граничных
точках A
h
km
=δ
km
, т.е. матрица A
h
km
диагональна во всех
точках отрезка. Очевидно, при c≤0 матрица оказывается
невырожденной, и конечно-разностная задача -
устойчивой. При c>0 задача (2.22)-(2.23) неустойчива.
Это проявляется также в существовании ненулевых
собственных решений однородной задачи
A
h
u=0 при x∈(0,1), (2.24)
u(0)=0, u(1)=0. (2.25)
Пример 2
-одномерное уравнение теплопроводности. 
невырождена, причём C(h)~⎢⎟A-1⎢⎟. Матрица A обычно имеет очень
большую размерность, и прямая проверка её невырожденности
оказывается невозможной.
     С точки зрения линейной алгебры, конечно-разностные
уравнения    можно   рассматривать    как   координатную     форму
векторно-матричного уравнения Au=F в базисе {ξ}, где ξk - N-
мерный числовой вектор, N-число узлов сетки, ξk(m)=δkm (в k-
том узле сетки ξk(k)=1 и ξk(m)=0 в остальных узлах).
Структура матрицы A может быть упрощена переходом к другому
базису. Так, во многих случаях эта матрица диагонализуется
при переходе к тригонометрическому базису ηk(m)=eikmϕ. В
частности, это имеет место для линейных конечно-разностных
схем с постоянными коэффициентами на равномерной сетке. В
                            eik-1                     1-e-ik
самом деле,         Λ+ηk(m)= h ηk(m),         Λ-ηk(m)= h ηk(m),
                                        2
        2i                          4sin (k/2)
Λ2ηk(m)= h sin(k)ηk(m) и Λ2ηk(m)=-      h2    ηk(m). Т.е. ηk(m)
является     собственной     функцией     операторов     конечных
разностей. Тоже относится и к любой линейной комбинации
операторов Λ, которую и представляет собой линейное
конечно-разностное уравнение с постоянными коэффициентами
на однородной сетке. Поэтому при переходе к базису ηk(m)
матрица A принимает диагональный вид, а проверка её
невырожденности сводится к проверке диагональных элементов.
Данная ситуация аналогична переходу от ОДУ с постоянными
коэффициентами к алгебраическому уравнению при разложении
решения в ряд Фурье. Этот метод, впервые применённый
Нейманом, носит название спектрального метода исследования
устойчивости.

Пример 1-одномерное уравнение второго порядка.
     ∂2u/∂x2+cu=f(x) при x∈(0,1),                      (2.22)
      u(0)=a, u(1)=b.                                  (2.23)
     Введём    равномерную      сетку    на   отрезке   (0,1)    и
     аппроксимируем       левую     часть    (2.22)    оператором
     Ahuj=cuj+(uj+1+uj-1-2uj)/h2, где h - шаг сетки. AhCkeikx =
     Ck[c+(eikh+e-ikh-2)/h2]eikxj = Ck[c-4sin2(kh/2)/h2]eikxj. При
             h
     этом Akm=[c-4sin2(kh/2)/h2]δkm, при x∈(0,1). В граничных
               h                         h
     точках Akm=δkm, т.е. матрица Akm диагональна во всех
     точках отрезка. Очевидно, при c≤0 матрица оказывается
     невырожденной,       и     конечно-разностная    задача     -
     устойчивой. При c>0 задача (2.22)-(2.23) неустойчива.
     Это    проявляется     также   в   существовании   ненулевых
     собственных решений однородной задачи
     Ahu=0 при x∈(0,1),                                (2.24)
     u(0)=0, u(1)=0.                                   (2.25)

Пример 2-одномерное уравнение теплопроводности.

Страницы