Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 4 стр.

      M
    ⎧⎪ Σ aiBij=Aj j=1..M-1
     ⎨M
       i=1
                                                  (1.10)
     ⎪⎩ Σ aiϕi(0)=g
       i=1
    где
          1                     1
    Bij=⌠[ϕi’(x)-cϕi(x)]ϕjdx, Aj=⌠f(x)ϕjdx
          ⌡                     ⌡
          0                     0
    В данном случае система уравнений получилась линейной.
    Решая (1.7) или (1.10) каким-либо методом, находим {ai}
    и приближённое решение (1.4).

- Монте-Карло.
а)Дифференциальная      задача      заменяется      системой
  алгебраических уравнений как в первом или втором случаях.
б)Системе алгебраических уравнений ставится в соответствие
  некоторый марковский процесс (например случайное блуждание
  частицы по ячейкам сетки).
в)Просчитывается нужное (обычно большое) число шагов этого
  процесса.

Достоинства и недостатки методов:
Сеточный:
Д:
  Простота реализации.
  Универсальность.
  Возможность быстрой сходимости (экономичность).
  Обычно обеспечивает аппроксимацию в сильной норме.
Н:
  Точность аппроксимации на сетку обычно не слишком высока.
  Требуется много памяти для хранения дискретных значений.
  Трудности в случае негладких решений.

Вариационный:
Д:
  Возможность работы с негладкими решениями.
  При подходящем базисе даёт:
  -высокую точность,
  -быструю сходимость,
  -экономию машинной памяти (особенно для многомерных
  задач).
Н:
  Подходящий базис сугубо индивидуален для каждой задачи;
  нет универсального алгоритма построения такого базиса.
  Обеспечивает сходимость только в среднем; проблема оценки
  аппроксимации в «сильной норме».

Монте-Карло:
Д:
  Высокая устойчивость.
  Сравнительная простота.