Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 2 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§1.
Введение.
п.1. Классификация простейших уравнений в частных
производных.
- Параболические.
- Гиперболические.
- Эллиптические.
Задача Коши для уравнений в частных производных,
корректность задачи Коши (Решение существует, единственно,
непрерывно зависит от начальных условий и правых частей).
Как известно, задача Коши для параболического и
гиперболического уравнений корректна.
Пример некорректной задачи Коши - эллиптическое уравнение:
∂
2
u/∂t
2
=-∂
2
u/∂x
2
(1.1)
Подставляя решение в виде exp(γt+ikx), получаем
дисперсионное соотношение: γ
2
=k
2
или γ=±k - всегда имеется
неустойчивая ветвь со сколь угодно большим инкрементом.
Очевидно при этом не может быть непрерывной зависимости от
начальных условий.
Мы всегда будем предполагать, что дифференциальная
задача Коши корректна.
п.2. Основные численные методы решения уравнений в частных
производных.
- Сеточные.
а)Непрерывной функции U(x) ставится в соответствие
дискретное
множество значений U
h
(x
h
) в конечном множестве
точек: «узлах сетки» (аппроксимация на сетку).
б)Дифференциальному оператору ставится в соответствие
конечно-разностный оператор.
в)Дифференциальная задача заменяется системой
алгебраических уравнений.
- Вариационные.
а)Искомому решению U(x) ставится в соответствие конечное
множество коэффициентов его разложения по некоторой
системе функций (базису), для которых определено скалярное
произведение. Часто базис берётся
ортогональным, хотя это
необязательно.
б)Дифференциальному оператору L
^
ставится в соответствие
невязка, как функция от коэффициентов разложения
F(x,a
1
,…,a
M
)= L
^
Σ
M
i=1
a
i
ϕ
i
(x).
в)Дифференциальная задача заменяется задачей на условный
(или безусловный) минимум невязки, как функции от
коэффициентов разложения
Φ(a
1
,…,a
M
)=(F(x),F(x)) (условие Ритца) 
                                 §1.
                              Введение.
п.1.    Классификация     простейших    уравнений    в    частных
производных.
- Параболические.
- Гиперболические.
- Эллиптические.
Задача    Коши    для    уравнений   в    частных   производных,
корректность задачи Коши (Решение существует, единственно,
непрерывно зависит от начальных условий и правых частей).
Как    известно,     задача   Коши    для    параболического    и
гиперболического уравнений корректна.
Пример некорректной задачи Коши - эллиптическое уравнение:
∂2u/∂t2=-∂2u/∂x2                                       (1.1)
Подставляя      решение    в    виде    exp(γt+ikx),     получаем
дисперсионное соотношение: γ =k или γ=±k - всегда имеется
                                2  2

неустойчивая ветвь со сколь угодно большим инкрементом.
Очевидно при этом не может быть непрерывной зависимости от
начальных условий.
     Мы всегда будем предполагать, что дифференциальная
задача Коши корректна.

п.2. Основные численные методы решения уравнений в частных
производных.

- Сеточные.
а)Непрерывной   функции   U(x)   ставится   в    соответствие
                                  h  h
  дискретное множество значений U (x ) в конечном множестве
  точек: «узлах сетки» (аппроксимация на сетку).
б)Дифференциальному   оператору   ставится  в    соответствие
  конечно-разностный оператор.
в)Дифференциальная      задача      заменяется       системой
  алгебраических уравнений.

- Вариационные.
а)Искомому решению U(x) ставится в соответствие конечное
  множество коэффициентов его разложения по некоторой
  системе функций (базису), для которых определено скалярное
  произведение. Часто базис берётся ортогональным, хотя это
  необязательно.
б)Дифференциальному оператору ^ L ставится в соответствие
  невязка,   как   функция   от   коэффициентов   разложения
                   M
               ^
 F(x,a1,…,aM)= L   Σ a ϕ (x).
                  i=1
                        i i

в)Дифференциальная задача заменяется задачей на условный
  (или   безусловный)  минимум  невязки,  как  функции от
  коэффициентов разложения
  Φ(a1,…,aM)=(F(x),F(x))       (условие Ритца)

Страницы