Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

или ортогональности невязки ко всем базисным функциям
(F(x),ϕ
i
(x))=0, i=1,M (условие Галёркина).
Пример 1.
Пусть требуется решить краевую задачу первого
порядка
∂u/∂x+cu=f(x) при x∈(0,1), (1.2)
с краевым условием u(0)=g (1.3)
вариационным методом. Зададимся некоторым базисом
ϕ
i
(x), i=1,M и будем искать решение в виде суммы
u(x)=
Σ
M
i=1
a
i
ϕ
i
(x). (1.4)
Рассмотрим функцию
Φ(a
1
,…,a
M
)=
⌡
⎮
⌠
0
1
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
Σ
M
i=1
a
i
[ϕ
i
’(x)-cϕ
i
(x)]-f(x)
2
dx. (1.5)
Будем искать минимум (1.5) с условием связи G=
Σ
M
i=1
a
i
ϕ
i
(0)-
g=0 методом Лагранжа (условие Ритца). Приходим к
системе уравнений:
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
∂Φ
∂a
i
+λ
∂G
∂a
i
=0
i=1…M
G=0
. (1.6)
или
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
Σ
M
j=1
a
j
B
ij
+λϕ
i
(0)=A
i
i=1…M
Σ
M
i=1
a
i
ϕ
i
(0)=g
(1.7)
где
B
ij
=2
⌡
⌠
0
1
[ϕ
i
’
(x)-cϕ
i
(x)][ϕ
j
’(x)-cϕ
j
(x)]dx
A
i
=2
⌡
⌠
0
1
[ϕ
i
’
(x)-cϕ
i
(x)]f(x)dx
(1.8)
По методу Галёркина приходим к системе уравнений
⌡
⎮
⌠
0
1
⎩
⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
Σ
M
i=1
a
i
[ϕ
i
’(x)-cϕ
i
(x)]-f(x) ϕ
j
dx=0. (1.9)
или 
или ортогональности невязки ко всем базисным функциям
(F(x),ϕi(x))=0, i=1,M         (условие Галёркина).

  Пример 1. Пусть требуется решить краевую задачу первого
  порядка
  ∂u/∂x+cu=f(x) при x∈(0,1),                    (1.2)
  с краевым условием u(0)=g                     (1.3)
  вариационным   методом.   Зададимся  некоторым   базисом
  ϕi(x), i=1,M и будем искать решение в виде суммы
                     M
  u(x)=          Σ a ϕ (x).
                 i=1
                         i i                                         (1.4)
  Рассмотрим функцию
                                   1
                                       M                   2
             ⌠⎧                       ⎫
             ⌡⎩i=1                    ⎭
                                       Σ
  Φ(a1,…,aM)=⎮⎨ ai[ϕi’(x)-cϕi(x)]-f(x)⎬ dx.                          (1.5)
                                   0
                                                                       M
  Будем искать минимум (1.5) с условием связи G=                      Σ a ϕ (0)-
                                                                      i=1
                                                                            i i

  g=0 методом Лагранжа                         (условие   Ритца).   Приходим      к
  системе уравнений:

  ⎧⎪ ∂Φ +λ ∂G =0
     ∂ai ∂ai
   ⎨i=1…M       .                                                    (1.6)
   ⎪⎩G=0
  или
        M

  ⎧⎪Σ a B +λϕ (0)=A
       j=1
             j ij              i           i


   ⎨ i=1…M                                                           (1.7)
   ⎪⎩Σ a ϕ (0)=g
        M

             i i
       i=1
  где
                 1

  Bij=2⌠  ’
       ⌡[ϕi (x)-cϕi(x)][ϕj’(x)-cϕj(x)]dx
                 0
                                                                     (1.8)
             1

  Ai=2⌠  ’
      ⌡[ϕi (x)-cϕi(x)]f(x)dx
             0
  По методу Галёркина приходим к системе уравнений
   1
        M
  ⌠⎧                       ⎫
  ⌡⎩i=1
       Σ
  ⎮⎨ ai[ϕi’(x)-cϕi(x)]-f(x)⎬ϕjdx=0.
                           ⎭
                                                                     (1.9)
   0
  или

Страницы