Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Повышение порядка аппроксимации с помощью
дифференциальных приближений весьма удобно для явных схем и
часто применяется на практике. Формально, оно применимо и в
случае неявных методов. Однако это ведёт к необходимости
обращения оператора типа [A-
τ
2
(A
t
-A
2
)]
h
вместо A
h
, что обычно
усложняет реализацию алгоритма. В тоже время, схемы Кранка-
Николсона, повышая порядок аппроксимации, требуют обращения
оператора того же вида, что и в полностью неявной схеме,
сохраняя высокую устойчивость алгоритма. По этой причине
метод дифференциальных приближений для неявных схем обычно
не применяется.
Отметим также схему «квадрат» или «алмазную»:
u
^
i
+u
^
i+1
-u
i
-u
i+1
τ
+v
u
^
i+1
+u
i+1
-u
^
i
-u
i
h
i
=0 (3.20)
Легко убедиться, что схема квадрат аппроксимирует уравнение
(3.1) с порядком O(τ
2
+h
2
) в точке (x
i+1/2
,t
n+1/2
). Исследуем его
на устойчивость. Подставляя Фурье-компоненту λ
n
e
ikx
получим:
[(λ-1)(e
i
ϕ
+1)/τ + v(λ+1)(e
i
ϕ
-1)/h]λ
n
e
ikx
=0
Откуда λ=[1+iqtg
ϕ
2
]/[1-iqtg
ϕ
2
], ⎜λ⎜=1. Схема «квадрат»
безусловно устойчива.
Для доказательства безусловной устойчивости схемы
«квадрат» энергетическим методом, рассмотрим оператор
трансляции T: Tu
i
=u
i+1
. Поскольку
Σ
i
u
i
2
=
Σ
i
u
i+1
2
, то
(Tu,Tu)=(u,u). Схему «квадрат» можно представить в виде
u
^
i
=(k+T)
-1
(1+kT)u
i
, где k=(h+vτ)/(h-vτ). Оценим норму
оператора перехода (k+T)
-1
(1+kT):
⎢⎟(k+T)
-1
(1+kT)⎢⎟
2
=max
u
((k+T)
-1
(1+kT)u,(k+T)
-1
(1+kT)u)
(u,u)
=
max
w
((1+kT)w,(1+kT)w)
((k+T)w,(k+T)w)
=max
w
(1+k
2
)w
2
+2k(Tw,w)
(1+k
2
)w
2
+2k(Tw,w)
=1.
Поэтому схема «квадрат» безусловно устойчива.
п.2.Разностные схемы для уравнения теплопроводности.
Для аппроксимации уравнения теплопроводности
∂u/∂t=D∂
2
u/∂x
2
, (3.21)
на трёхточечном пространственном шаблоне чаще всего
используются схемы:
u
^
i
-u
i
τ
=D
u
i+1
-2u
i
+u
i-1
h
2
(3.22)
(явная), 
     Повышение        порядка        аппроксимации       с    помощью
дифференциальных приближений весьма удобно для явных схем и
часто применяется на практике. Формально, оно применимо и в
случае неявных методов. Однако это ведёт к необходимости
                                   τ
обращения оператора типа [A-2(At-A2)]h вместо Ah, что обычно
усложняет реализацию алгоритма. В тоже время, схемы Кранка-
Николсона, повышая порядок аппроксимации, требуют обращения
оператора того же вида, что и в полностью неявной схеме,
сохраняя высокую устойчивость алгоритма. По этой причине
метод дифференциальных приближений для неявных схем обычно
не применяется.
     Отметим также схему «квадрат» или «алмазную»:
^  ^
ui+ui+1-ui-ui+1 ^          ^ -u
                 ui+1+ui+1-ui  i
               +v       hi      =0                         (3.20)
       τ
Легко убедиться, что схема квадрат аппроксимирует уравнение
(3.1) с порядком O(τ2+h2) в точке (xi+1/2,tn+1/2). Исследуем его
на устойчивость. Подставляя Фурье-компоненту λneikx получим:
[(λ-1)(eiϕ+1)/τ + v(λ+1)(eiϕ-1)/h]λneikx=0
                      ϕ           ϕ
Откуда     λ=[1+iqtg2]/[1-iqtg2],         ⎜λ⎜=1.    Схема   «квадрат»
безусловно устойчива.
     Для    доказательства       безусловной     устойчивости   схемы
«квадрат»     энергетическим       методом,     рассмотрим   оператор
трансляции      T:    Tui=ui+1.     Поскольку     Σu =Σu
                                                   i
                                                       2
                                                       i
                                                           i
                                                                2
                                                                i+1
                                                                      ,     то
 (Tu,Tu)=(u,u). Схему «квадрат» можно представить в виде
 ^
 ui=(k+T)-1(1+kT)ui,     где    k=(h+vτ)/(h-vτ).   Оценим норму
                             -1
оператора перехода (k+T) (1+kT):
                      ((k+T)-1(1+kT)u,(k+T)-1(1+kT)u)
⎢⎟(k+T)-1(1+kT)⎢⎟2=max              (u,u)            =
                    u
     ((1+kT)w,(1+kT)w)       (1+k2)w2+2k(Tw,w)
 max ((k+T)w,(k+T)w) =max(1+k2)w2+2k(Tw,w)=1.
   w                      w
Поэтому схема «квадрат» безусловно устойчива.


п.2.Разностные схемы для уравнения теплопроводности.


     Для аппроксимации уравнения теплопроводности
∂u/∂t=D∂2u/∂x2,                                   (3.21)

на   трёхточечном   пространственном        шаблоне        чаще           всего
используются схемы:
^
ui-ui ui+1-2ui+ui-1
     =D     h2                                                 (3.22)
  τ
(явная),

Страницы