Разностные схемы и их анализ. Петрусев А.С. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

u
^
^
i
-2u
^
i
+u
i
τ
2
-c
2
u
^
i+1
-2u
^
i
+u
^
i-1
h
2
=0 (3.29)
Схема (3.29) аппроксимирует (3.28) с порядком O(h
2
+τ
2
) в
узле (x
i
,t
n
). Исследование на устойчивость дают выражение
для множителя перехода: (λ-1)
2
-λq
2
(e
i
ϕ
-2+e
-i
ϕ
)=0 или
λ
2
+2λ(2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)+1=0, откуда λ
1
λ
2
=1. Схема устойчива, когда
оба корня комплексно-сопряжённые (и равны 1 по модулю). Для
этого необходима и достаточна неположительность
дискриминанта: (2q
2
sin
2
ϕ
2
-1)
2
-1≤0 или ⎜q⎜≤1, так, что схема
(3.29) условно устойчива.
б)Неявная схема типа Кранка-Николсона
u
^
^
i
-2u
^
i
+u
i
τ
2
-
c
2
2h
2
(u
^
^
i+1
-2u
^
^
i
+u
^
^
i-1
+u
i+1
-2u
i
+u
i-1
)=0 (3.30)
аппроксимирует (3.28) с порядком O(h
2
+τ
2
) в узле (x
i
,t
n
).
Уравнение на множитель перехода имеет вид: λ
2
-2λ/(2q
2
sin
2
ϕ
2
+1)+1=0. Дискриминант этого уравнения всегда неположителен,
и схема (3.30) безусловно устойчива.
Одномерное волновое уравнение можно записать в виде
эквивалентной системы двух уравнений первого порядка по
времени. Такую систему обычно называют «уравнениями
акустики»:
∂u/∂t+с∂v/∂x=0
∂v/∂t+с∂u/∂x=0
(3.31)
Для численного решения (3.31) часто используется т.н.
«шахматная»
сетка. Это означает, что одну из переменных
(например u) аппроксимируют в целых узлах сетки - u
m
~u(mh),
а другую (v) - в полуцелых v
m+1/2
~v(mh+h/2). Рассмотрим
неявную конечно-разностную «шахматную» схему:
u
^
i
-u
i
τ
+cΛ
+
v
^
i-1/2
=0
v
^
i-1/2
-v
i-1/2
τ
+cΛ
-
u
^
i
=0
. (3.32)
Легко убедиться, что она аппроксимирует уравнения акустики
с порядком O(τ+h
2
). Спектральный анализ устойчивости
приводит к выражению для множителя перехода
1
λ
=1±2iqsin
ϕ
2
.
Очевидно ⎜λ⎜≤1, и схема безусловно устойчива. Аналогичный
результат даёт энергетический метод. Введём w
i
=
⎝
⎛
⎠
⎞
u
i
v
i-1/2
и
скалярное произведение (w’,w”)=(u’,u”)+(v’,v”), где (u’,u”)
и (v’,v”) определены по (2.37). Тогда
h
c
(w,Aw)= 
^
^    ^ +u     ^      ^ ^
ui-2u  i  i  2ui+1-2ui+ui-1
           -c       h2      =0                               (3.29)
    τ2
Схема (3.29) аппроксимирует (3.28) с порядком O(h2+τ2) в
узле (xi,tn). Исследование на устойчивость дают выражение
для      множителя        перехода:      (λ-1)2-λq2(eiϕ-2+e-iϕ)=0   или
                ϕ
λ2+2λ(2q2sin22-1)+1=0, откуда λ1λ2=1. Схема устойчива, когда
оба корня комплексно-сопряжённые (и равны 1 по модулю). Для
этого       необходима          и     достаточна     неположительность
                               ϕ
дискриминанта: (2q2sin22-1)2-1≤0 или ⎜q⎜≤1, так, что схема
(3.29) условно устойчива.
б)Неявная схема типа Кранка-Николсона
^
^    ^ +u c2 ^
ui-2u  i  i      ^ -2u ^
                       ^ +u^
                           ^ +u -2u +u )=0
           -2h2(u                                            (3.30)
    τ 2           i+1   i   i-1   i+1  i  i-1

аппроксимирует (3.28) с порядком O(h2+τ2) в узле (xi,tn).
                                                          ϕ
Уравнение на множитель перехода имеет вид: λ2-2λ/(2q2sin22
+1)+1=0. Дискриминант этого уравнения всегда неположителен,
и схема (3.30) безусловно устойчива.
     Одномерное волновое уравнение можно записать в виде
эквивалентной системы двух уравнений первого порядка по
времени.   Такую   систему  обычно   называют  «уравнениями
акустики»:

∂u/∂t+с∂v/∂x=0
                                                           (3.31)
∂v/∂t+с∂u/∂x=0

      Для численного решения (3.31) часто используется т.н.
«шахматная» сетка. Это означает, что одну из переменных
(например u) аппроксимируют в целых узлах сетки - um~u(mh),
а другую (v) - в полуцелых vm+1/2~v(mh+h/2). Рассмотрим
неявную конечно-разностную «шахматную» схему:
^
ui-ui
      +cΛ+^vi-1/2=0
  τ
^                      .                            (3.32)
vi-1/2-vi-1/2     ^
             +cΛ-ui=0
      τ
Легко убедиться, что она аппроксимирует уравнения акустики
с    порядком       O(τ+h2). Спектральный анализ устойчивости
                                                 1          ϕ
приводит к выражению для множителя перехода        =1±2iqsin2.
                                                 λ
Очевидно ⎜λ⎜≤1, и схема безусловно устойчива. Аналогичный
                                                   ui
результат даёт энергетический метод. Введём wi=⎛⎝v        ⎞ и
                                                     i-1/2⎠
скалярное произведение (w’,w”)=(u’,u”)+(v’,v”), где (u’,u”)
                                                   h
и   (v’,v”)    определены   по   (2.37).   Тогда   c(w,Aw)=

Страницы